CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO – ESERCIZIO 5

Problema

Da un elicottero con velocità orizzontale $v=3,2\hspace{0.1cm}m/s$ viene lasciato cadere un pacco di $4\hspace{0.1cm}kg$ che atterra dentro un carrello fermo su una rotaia. Se il carrello pesa $24\hspace{0.1cm}kg$ a quale velocità si muoveranno il carrello e il pacco dopo l’atterraggio? Supponendo che il coefficiente di attrito dinamico tra carrello e rotaia sia di $0,67$ dopo quanti metri si fermerà?

Svolgimento

Individuiamo i dati e le incognite del problema:

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Il pacco lasciato cadere dall’elicottero avrà la stessa la stessa velocità orizzontale dell’elicottero. Inoltre, non essendo presenti forze esterne, la quantità di moto lungo la direzione orizzontale si conserva (durante l’urto l’attrito statico è trascurabile).

Dopo l’atterraggio il carrello e il pacco si muoveranno alla stessa velocità $v_f$, per calcolarla sfruttiamo la conservazione della quantità di moto:

$\vec{p}_I=\vec{p}_F$

Nella situazione iniziale si muove solo il pacco quindi:

$\vec{p}_I=m_1\vec{v}_{i1}$

nella situazione finale il carrello e il pacco si muovono alla stessa velocità:

$\vec{p}_F=m_1\vec{v}_f+m_2\vec{v}_f=(m_1+m_2)\vec{v}_f$

Combinando queste due relazioni otteniamo che la conservazione della quantità di moto diventa:

$m_1\vec{v}_{i1}=(m_1+m_2)\vec{v}_f$

Passiamo ora ai moduli, tenendo conto del verso dei vettori rispetto al sistema di riferimento:

$m_1v_{i1}=(m_1+m_2)v_f$

da cui possiamo isolare $v_f$ ottenendo:

$v_f=\dfrac{m_1v_{i1}}{m_1+m_2}$

Inseriamo ora i valori numeri, otteniamo che la velocità finale del carrello e del pacco è:

$v_f=\dfrac{m_1v_{i1}}{m_1+m_2}=\dfrac{4\hspace{0.1cm}kg\cdot 3,2\hspace{0.1cm}m/s}{4\hspace{0.1cm}kg+24\hspace{0.1cm}kg}=0,46\hspace{0.1cm}m/s$

Ora dobbiamo calcolare quanto spazio percorrono il carrello e il pacco prima di fermarsi a causa dell’attrito tra carrello e rotaia. Il moto del carrello sarà uniformemente accelerato, dobbiamo quindi trovare quale sarà l’accelerazione. Partiamo dalla forza di attrito, che possiamo calcolare con la formula:

$F_a=\mu_d(m1+m2)g=0,67\cdot (4\hspace{0.1cm}kg+24\hspace{0.1cm}kg)\cdot 9,81\hspace{0.1cm}m/s^2=184\hspace{0.1cm}N$

La forza di attrito è l’unica forza che agisce orizzontale che agisce sul carrello, per cui dal secondo principio abbiamo che:

$\vec{F}_a=(m_1+m_2)\vec{a}$

cioè passando ai moduli:

$-F_a=(m_1+m_2)a$

l’accelerazione del carrello è dunque:

$a=-\dfrac{F_a}{(m_1+m_2)}=-\dfrac{184\hspace{0.1cm}N}{4\hspace{0.1cm}kg+24\hspace{0.1cm}kg}=-6,6\hspace{0.1cm}m/s^2$

Chiaramente è negativa perché il carrello viene frenato!

Ora che conosciamo l’accelerazione, per trovare trovare dopo quanti metri si ferma usiamo le leggi del moto uniformemente accelerato:

$\begin{cases} v=v_0+at \\ s=s_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{cases}$

che nel nostro caso essendo $s_0=0$, $v_0=v_f=0,46\hspace{0.1cm}m/s$ e $a=-6,6\hspace{0.1cm}m/s^2$ diventano (unità di misura omesse per rendere più comprensibile le formule):

$\begin{cases} v=0,46-6,6t \\ s=0,46 t-\dfrac{1}{2}\cdot 6,6\cdot t^2 \end{cases}$

Utilizziamo la prima per capire quanto tempo impiega a fermarsi i carrello. Infatti se il carrello è fermo $v=0\hspace{0.1cm}m/s$ allora si ottiene che:

$0=0,46-6,6t$

da cui il tempo di frenata è:

$t=\dfrac{0,46\hspace{0.1cm}m/s}{6,6\hspace{0.1cm}m/s^2}=0,07\hspace{0.1cm}s$

Ora sostituiamo questo tempo nella legge oraria per trovare lo spazio percorso:

$s=0,46 t-\dfrac{1}{2}\cdot 6,6\cdot t^2=0,46\hspace{0.1cm}m/s \cdot 0,07\hspace{0.1cm}s-\dfrac{1}{2}\cdot 6,6\hspace{0.1cm}m/s^2 \cdot (0,07\hspace{0.1cm}s)^2 =0,02\hspace{0.1cm}m$

Quindi il carrello con sopra il pacco si ferma dopo $2$ centimetri!