CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO – ESERCIZIO 4

Problema

Un cannone spara una palla di $35\hspace{0.1cm}kg$ con un angolo di $60°$ con un velocità di $570\hspace{0.1cm}m/s$. Dopo lo sparo il cannone rincula orizzontalmente con una velocità di $7,8\hspace{0.1cm}m/s$. Calcola la massa del cannone e l’impulso scambiato tra cannone e terreno.

Svolgimento

Individuiamo i dati e le incognite del problema:

Come prima cosa calcoliamo la massa $m_1$ del cannone. Per farlo applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto lungo l’asse $x$:

$\vec{p}_{Ix}=\vec{p}_{Fx}$

Nel nostro caso, nella situazione iniziale nulla si muove perché il cannone non ha ancora sparato, quindi:

$\vec{p}_{Ix}=0\hspace{0.1cm}kg\cdot m/s$

invece osservando la situazione finale la quantità di moto totale lungo $x$ è:

$\vec{p}_{Fx}=m_1\vec{v}_{f1x}+m_2\vec{v}_{f2x}$

Inserendo questo appena trovato nella prima formula otteniamo che la conservazione della quantità di moto lungo $x$ diventa:

$0=m_1\vec{v}_{f1x}+m_2\vec{v}_{f2x}$

passiamo ora dai vettori ai moduli, stando attenti al verso dei vettori rispetto al sistema di riferimento scelto:

$0=-m_1v_{f1x}+m_2v_{f2x}$

da questa formula troviamo che la massa $m_1$ del cannone è calcolabile come:

$m_1=\dfrac{m_2v_{f2x}}{v_{f1x}}$

Prima di poterla utilizzare dobbiamo trovare $v_{f2x}$ con la formula:

$v_{f2x}=v_{f2}\cos\alpha =570\hspace{0.1cm}m/s\cdot \cos 60°=285\hspace{0.1cm}m/s$

Ora possiamo finalmente calcolare $m_1$ che sarà:

$m_1=\dfrac{m_2v_{f2x}}{v_{f1x}}=\dfrac{35\hspace{0.1cm}kg\cdot 285\hspace{0.1cm}m/s}{7,8\hspace{0.1cm}m/s}=1279\hspace{0.1cm}kg$

Ora dobbiamo calcolare l’impulso scambiato tra cannone e terreno. Questo perché lungo la direzione $y$ la quantità di moto non si conserva a causa della forza esterna tra cannone e terreno.

La quantità di moto lungo $y$ non si conserva ma, secondo il teorema dell’impulso, la variazione della quantità di moto lungo $y$ è uguale all’impulso scambiato lungo $y$. Cioè:

$\vec{p}_{Fy}-\vec{p}_{Iy}=\vec{I}_y$

Ma sappiamo che siccome nulla si muove nella situazione iniziale:

$\vec{p}_{Iy}=0$

mentre siccome il cannone non ha velocità lungo $y$ dopo lo sparo a causa del vincolo del terreno ($\vec{v}_{f1y}=0\hspace{0.1cm}m/s$), si ha che:

$\vec{p}_{Fy}=m_2\vec{v}_{f2y}$

Quindi il teorema dell’impulso diventa:

$m_2\vec{v}_{f2y}=\vec{I}_y$

passando ai moduli si ottiene:

$m_2v_{f2y}=I_y$

Quindi possiamo calcolare $I_y$ come:

$I_y=m_2v_{f2y}$

Prima calcoliamo prima $v_{f2y}$ con la formula:

$v_{f2y}=v_{f2}\sin\alpha=570\hspace{0.1cm}m/s \cdot \sin 60°=494\hspace{0.1cm}m/s $

Ora possiamo calcolare l’impulso $I_y$ scambiato inserendo i valori numerici:

$I_y=m_2v_{f2y}=35\hspace{0.1cm}kg\cdot 494\hspace{0.1cm}m/s=1,7\cdot 10^4\hspace{0.1cm}N\cdot s$