Problema
Luca salta con una velocità di $3\hspace{0.1cm}m/s$ su uno skateboard fermo. La massa di Luca è $65\hspace{0.1cm}kg$ mentre quella dello skateboard è $3,5\hspace{0.1cm}kg$. A quale velocità si muoveranno Luca e lo skateboard?
Svolgimento
Individuiamo dati ed incognite del problema:
DATI
$v_{i1}=3\hspace{0.1cm}m/s$
$v_{i2}=0\hspace{0.1cm}m/s$
$m_1=65\hspace{0.1cm}kg$
$m_2=3,5\hspace{0.1cm}kg$
INCOGNITE
$v_f=?$
Nella situazione finale Luca e lo skateboard si muoveranno insieme con la stessa velocità finale di modulo $v_f$, per calcolarla possiamo utilizzare la conservazione della quantità di moto. Secondo questa legge di conservazione, la quantità di moto totale iniziale deve essere uguale alla quantità di moto totale finale:
$\vec{p}_I=\vec{p}_F$
Nel nostro caso, siccome lo skateboard è fermo inizialmente cioè $v_{i2}=0\hspace{0.1cm}m/s$, la quantità di moto totale iniziale sarà:
$\vec{p}_I=m_1\vec{v}_{i1}+m_2\vec{v}_{i2}=m_1\vec{v}_{i1}$
mentre, siccome Luca e lo skate avranno la stessa velocità finale, la quantità di moto totale finale sarà:
$\vec{p}_F=m_1\vec{v}_f+m_2\vec{v}_f=(m_1+m_2)\vec{v}_f$
Sostituendo queste due formule in quella iniziale la formula della conservazione della quantità di moto diventa:
$m_1\vec{v}_{i1}=(m_1+m_2)\vec{v}_f$
Passiamo ora dai vettori ai moduli, entrambe le velocità sono nello stesso verso (positivo) rispetto al sistema di riferimento, quindi si ottiene:
$m_1v_{i1}=(m_1+m_2)v_f$
Da questa formula, isolando $v_f$, otteniamo:
$v_f=\dfrac{m_1v_{i1}}{(m_1+m_2)}$
Ora basta solo sostituire i dati, la velocità finale di Luca e lo skate è:
$v_f=\dfrac{m_1v_{i1}}{(m_1+m_2)}=\dfrac{65\hspace{0.1cm}kg\cdot 3\hspace{0.1cm}m/s}{(65\hspace{0.1cm}kg+3,5\hspace{0.1cm}kg)}=2,85\hspace{0.1cm}m/s$