MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO – ESERCIZIO 9

Problema

Durante una gara motociclistica un pilota che sta viaggiando a $35\hspace{0.1cm}m/s$ decide di frenare per un breve tratto con una decelerazione di $1,4\hspace{0.1cm}m/s^2$ in modo da affrontare meglio una curva. Durante la frenata percorre $85$ metri, calcola quanto tempo dura la frenata e che velocità avrà alla fine della frenata.

Svolgimento

Scriviamo dati ed incognite del problema:

Fissiamo il sistema di riferimento nel punto in cui il motociclista inizia a frenare, come in figura.

Chiaramente supponiamo che freni in modo costante, allora durante la frenata il suo moto sarà uniformemente accelerato. Quindi le equazioni del moto saranno:

\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]

Ora dal disegno possiamo osservare che:

• $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché la moto è inizialmente sull’origine del sistema di riferimento
• $v_0=35\hspace{0.1cm}m/s$ è la velocità iniziale della moto prima che inizi a frenare
• $a=1,4\hspace{0.1cm}m/s^2$ ma dobbiamo ricordarci che avrà segno negativo perché è in verso opposto all’asse $x$, infatti la moto sta frenando
• $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ perché iniziamo a misurare il tempo quando la moto inizia a frenare

Inserendo queste informazioni le leggi del moto diventano:

\[\begin{cases}s(t)=0+35\cdot(t-0)+\dfrac{1}{2}\cdot (-1,4)\cdot (t-0)^2 \\ v(t)=35-1,4\cdot(t-0)\end{cases}\]

Sistemando i calcoli otteniamo che le leggi del moto sono:

\[\begin{cases}s(t)=35t-0,7t^2 \\ v(t)=35-1,4t\end{cases}\]

Ora che abbiamo le leggi del moto sfruttiamo il dato sulla distanza percorsa. Sappiamo che la moto percorrerà $85$ durante il tempo di frenata, quindi per scoprire in quanto tempo percorre quella distanza poniamo nella legge oraria $s(t)=85\hspace{0.1cm}m$, otterremo un’equazione con unica incognita il tempo:

$85=35t-0,7t^2$

possiamo scrivere questa equazione di secondo grado in forma normale come:

$0,7t^2-35t+85=0$

Ora applichiamo il classico metodo di risoluzione, cioè calcoliamo il $\Delta$:

$\Delta=b^2-4ac=(-35)^2-4\cdot 0,7\cdot 85=987$

Quindi le due soluzioni dell’equazione sono:

$t_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{35\pm \sqrt{987}}{1,4}$

I risultati che si ottengono sono $t_1=2,6\hspace{0.1cm}s$ e $t_2=47,4\hspace{0.1cm}s$.

Qual è il tempo corretto? Il tempo che ha senso prendere nel nostro caso è $t_1=2,6\hspace{0.1cm}s$, quindi la frenata dura $2,6$ secondi (il perché scartiamo l’altra soluzione lo vedremo a fine esercizio).

Ora che sappiamo quanto dura la frenata, per calcolare la velocità finale della moto basta solo inserire $t_1=2,6\hspace{0.1cm}s$ nella legge della velocità:

$v(t_1)=35-1,4\cdot 2,6=31,4\hspace{0.1cm}m/s$

Quindi la moto alla fine della frenata avrà una velocità di $31,4\hspace{0.1cm}m/s$.

NOTA

Cerchiamo di capire perché abbiamo scartato il risultato $t_2=47,4\hspace{0.1cm}s$.

Una possibile spiegazione è la seguente:

Nella realtà sappiamo che una moto può frenare diminuendo la sua velocità fino a fermarsi, continuando ad andare avanti durante tutto il tempo di frenata.

La legge oraria della moto “ignora” questa informazione, perché sta descrivendo il moto di un oggetto generico che sta accelerando in verso opposto al suo movimento. Infatti secondo la legge oraria la moto frena fino a fermarsi ma poi inizierà a muoversi all’indietro sempre sotto l’azione dell’accelerazione negativa (anche se nella realtà sappiamo che non può accadere). Quindi sempre secondo la legge oraria la moto si troverà ad una distanza di $85$ metri dall’origine del sistema di riferimento due volte, la prima durante la frenata ($t_1=2,6\hspace{0.1cm}s$) e la seconda durante il suo “moto all’indietro” ($t_2=47,4\hspace{0.1cm}s$) che sappiamo non essere reale.