MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO – ESERCIZIO 7

Problema

Un’auto che viaggia a $36\hspace{0.1cm}km/h$ accelera in modo costante per $10$ secondi raggiungendo una velocità di $70\hspace{0.1cm}km/h$. Calcola quanto spazio ha percorso in quell’intervallo di tempo.

Svolgimento

Scriviamo dati ed incognite del problema:

Fissiamo il sistema di riferimento nella posizione iniziale dell’auto prima che inizi ad accelerare e poi convertiamo le velocità da kilometri orari a metri al secondo:

$v_0=36\hspace{0.1cm}km/h=\dfrac{36}{3,6}\hspace{0.1cm}m/s=10\hspace{0.1cm}m/s$

$v(t_1)=70\hspace{0.1cm}km/h=\dfrac{70}{3,6}\hspace{0.1cm}m/s=19,4\hspace{0.1cm}m/s$

Siccome sappiamo che accelera in modo costante possiamo calcolare l’accelerazione dell’auto con la formula:

$a=\dfrac{v(t_1)-v_0}{t_1-t_0}$

dove abbiamo preso come riferimenti l’istante inziale con $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ nel quale l’auto ha velocità $v_0=10\hspace{0.1cm}$ e poi l’istante $t_1=10\hspace{0.1cm}s$ nel quale l’auto ha velocità $v(t_1)=19,4\hspace{0.1cm}m/s$. Quindi inserendo nella formula, otteniamo che l’accelerazione dell’auto è:

$a=\dfrac{19,4\hspace{0.1cm}m/s-10\hspace{0.1cm}m/s}{10\hspace{0.1cm}s-0\hspace{0.1cm}s}=\dfrac{9,4\hspace{0.1cm}m/s}{10\hspace{0.1cm}s}=0,94\hspace{0.1cm}m/s^2$

Scriviamo ora le leggi del moto dell’auto, che saranno quelle del moto uniformemente accelerato:

\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]

Abbiamo che:

• $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché l’auto parte dall’origine del sistema di riferimento
• $v_0=10\hspace{0.1cm}m/s$ perché è la velocità iniziale dell’auto prima che inizi ad accelerare
• $a=0,94\hspace{0.1cm}m/s^2$
• $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ perché iniziamo a misurare il tempo nell’istante in cui l’auto inizia ad accelerare

Utilizzando queste informazioni abbiamo che le equazioni del moto diventano:

\[\begin{cases}s(t)=0+10\cdot (t-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 0,94\cdot (t-0)^2 \\ v(t)=10+0,94\cdot (t-0)\end{cases}\]

che sistemate diventano:

\[\begin{cases}s(t)=10t+0,47t^2 \\ v(t)=10+0,94t\end{cases}\]

Per calcolare lo spazio percorso dall’auto in quei $10$ secondi di accelerazione basta semplicemente inserire $t_1=10\hspace{0.1cm}s$ nella legge oraria, ottenendo:

$s(t_1)=10\cdot 10+0,47\cdot 10^2=100+0,47\cdot 100=147\hspace{0.1cm}m$