MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO – ESERCIZIO 6

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Problema

Un sasso viene fatto rotolare con una velocità iniziale sconosciuta e con un’accelerazione costante di $2,6\hspace{0.1cm}m/s^2$. Sapendo che dopo $6$ secondi ha percorso $55$ metri, calcola la velocità con la quale è stato lanciato.

Svolgimento

Individuiamo dati ed incognite:

DATI

$a=2,6\hspace{0.1cm}m/s^2$

$t_1=6\hspace{0.1cm}s$

$s(t_1)=55\hspace{0.1cm}m$

INCOGNITE

$v_0=?$

disegno moto uniformemente accelerato esercizio 6

Fissiamo il sistema di riferimento nel punto in cui il sasso viene lanciato.

Iniziamo scrivendo le leggi del moto del sasso, che siccome si muove con accelerazione costante saranno quelle del moto uniformemente accelerato:

\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]

Rispetto al sistema di riferimento scelto abbiamo che:

  • $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché il sasso parte dall’origine del sistema di riferimento
  • $v_0=?$ è la velocità iniziale con cui viene lanciato ed è la nostra incognita
  • $a=2,6\hspace{0.1cm}m/s^2$
  • $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ perché iniziamo a misurare il tempo dall’istante in cui viene lanciato il sasso

Quindi inserendo questi dati, otteniamo che le leggi del moto diventano:

\[\begin{cases}s(t)=0+v_0(t-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 2,6 \cdot (t-0)^2 \\ v(t)=v_0+2,6\cdot (t-0)\end{cases}\]

che sistemate diventano:

\[\begin{cases}s(t)=v_0t+1,3t^2 \\ v(t)=v_0+2,6t\end{cases}\]

Le leggi del moto non sono complete, infatti la velocità iniziale $v_0$ è per ora sconosciuta. Tuttavia possiamo sfruttare i restanti dati e la legge oraria per calcolarla.

Sappiamo che il sasso avrà percorso $55$ metri dopo $6$ secondi dal lancio, ciò significa che nella legge oraria quando $t=6\hspace{0.1cm}s$ allora $s(t)=55\hspace{0.1cm}m$. Inseriamo quindi tali valori nella legge oraria:

$55=v_0\cdot 6+1,3\cdot 6^2$

che facendo qualche calcolo diventa:

$55=6v_0+46,8$

Riordinando i termini otteniamo la seguente equazione che ha come incognita proprio $v_0$:

$6v_0=8,2$

da cui otteniamo che la velocità con cui è stato lanciato il sasso è:

$v_0=\dfrac{8,2}{6}=1,4\hspace{0.1cm}m/s$