MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO – ESERCIZIO 5

Problema

Un’auto che sia muove alla velocità costante di $70\hspace{0.1cm}km/h$ supera un’auto in sosta che nello stesso istante si mette in moto con un’accelerazione di $5,2\hspace{0.1cm}m/s^2$. Dopo quanto tempo le due auto avranno la stessa velocità? E dopo quanto la seconda raggiungerà la prima?

Svolgimento

Scriviamo dati ed incognite del problema:

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Iniziamo lo svolgimento convertendo in metri al secondo la velocità della macchina 1 (dividendo per $3,6$ la velocità in kilometri orari):

$v_1=70\hspace{0.1cm}km/h=\dfrac{70}{3,6}\hspace{0.1cm}m/s=19\hspace{0.1cm}m/s$

Come si può vedere dal disegno abbiamo posto l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui le due auto sono una affianco all’altra, cioè nell’istante del sorpasso.

Ora passiamo al calcolo delle leggi del moto delle due auto.

La prima auto si muove alla velocità costante di $19\hspace{0.1cm}m/s$, siccome la velocità è costante cioè non c’è accelerazione, allora la macchina si muove di moto uniforme le cui leggi del moto sono:

\[\begin{cases} s(t)=s_0+v(t-t_0) \\ v(t)=\mbox{costante}\end{cases}\]

Allora siccome $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché parte dall’origine del sistema di riferimento, $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ perché iniziamo a misurare il tempo nell’istante del sorpasso e $v_1=19\hspace{0.1cm}m/s$, le leggi del moto della prima auto sono:

\[\begin{cases} s_1(t)=19t \\ v_1(t)=19 \end{cases}\]

Passiamo ora alla seconda auto, questa avrà moto uniformemente accelerato perché possiede un’accelerazione costante pari a $5,2\hspace{0.1cm}m/s^2$.

Le sue leggi del moto (uniformemente accelerato) sono della forma:

\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]

e analizzando il disegno possiamo capire che:

• $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché anche la seconda auto parte dall’origine del sistema di riferimento

• $v_0=0\hspace{0.1cm}m/s$ perché l’auto essendo in sosta parte da ferma
• $a_2=5,2\hspace{0.1cm}m/s^2$
• $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ in quanto iniziamo a misurare il tempo alla partenza dell’auto (che coincide con l’istante in cui viene sorpassata dalla prima)

Allora le leggi del moto della seconda auto sono:

\[\begin{cases}s_2(t)=0+0\cdot (t-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 5,2\cdot (t-0)^2 \\ v_2(t)=0+5,2\cdot (t-0)\end{cases}\]

che sistemate diventano:

\[\begin{cases}s_2(t)=2,6t^2 \\ v_2(t)=5,2t \end{cases}\]

Ora abbiamo tutto ciò che serve per rispondere alle domande del problema.

Dopo quanto tempo le due auto avranno la stessa velocità?

Avere la stessa velocità significa che la legge della velocità della prima auto $v_1(t)$ deve essere uguale alla legge della velocità della seconda auto $v_2(t)$, cioè:

$v_1(t)=v_2(t)$

andando ad inserire le due leggi delle velocità trovate in precedenza otteniamo:

$19=5,2t$

che è una semplice equazione di prima grado, risolvendola otteniamo che il tempo al quale le due velocità sono uguali è:

$t=\dfrac{19}{5,2}=3,7\hspace{0.1cm}s$

Quindi le due auto avranno la stessa velocità dopo un tempo $t_1=3,7\hspace{0.1cm}s$ dal sorpasso.

E dopo quanto la seconda raggiungerà la prima?

All’inizio la prima auto supera la seconda che è in sosta. La seconda auto si mette poi in movimento e siccome avrà moto uniformemente accelerato (cioè aumenta costantemente la sua velocità) è destinata a raggiungere e superare la prima auto, che non accelerando mantiene la propria velocità costante.

L’esercizio chiede in che istante di tempo dopo la partenza la seconda auto raggiunge la prima, per rispondere al quesito sfruttiamo le leggi orarie delle due macchine.

Se la seconda auto raggiunge la prima significa che le due auto saranno alla stessa distanza dal punto di partenza, cioè la distanza percorsa dalla prima auto $s_1(t)$ deve essere uguale alla distanza percorsa dalla seconda auto $s_2(t)$, cioè:

$s_1(t)=s_2(t)$

quindi sostituendo le due leggi orarie otteniamo che:

$19t=2,6t^2$

abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado, che spostando i termini possiamo scrivere come:

$2,6t^2-19t=0$

che possiamo risolvere facilmente raccogliendo $t$:

$t(2,6t-19)=0$

Allora, se trascuriamo la soluzione banale $t=0$ che corrisponde alla partenza delle due auto, abbiamo che le due auto avranno la stessa posizione al tempo:

$t=\dfrac{19}{2,6}=7,3\hspace{0.1cm}s$

Quindi la seconda auto raggiungerà la prima dopo un tempo $t_2=7,3\hspace{0.1cm}s$ dalla partenza.