MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO – ESERCIZIO 4

Problema

Un razzo lascia la superfice terrestre con un’accelerazione costante. Dopo un minuto e mezzo dal decollo ha percorso $11$ kilometri, calcola l’accelerazione del razzo e la velocità del razzo in quell’istante.

Svolgimento

Iniziamo individuando dati ed incognite:

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Come al solito la prima cosa da controllare sono le unità di misura dei dati, convertiamole in modo da avere quelle del Sistema Internazionale, cioè:

$t_1=1,5\hspace{0.1cm}min=1,5\cdot 60\hspace{0.1cm}s=90\hspace{0.1cm}s$

$s(t_1)=11\hspace{0.1cm}km=11\cdot 1000\hspace{0.1cm}m=11000\hspace{0.1cm}m$

Il testo ci dice che il razzo decolla con accelerazione costante, pertanto il suo moto sarà uniformemente accelerato le cui leggi del moto sono:

\[\begin{cases}s(t)=s_0+v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \\ v(t)=v_0+a(t-t_0)\end{cases}\]

Nel disegno rappresentiamo il razzo che sta partendo, in questa situazione si ottiene che:

• $s_0=0\hspace{0.1cm}m$ perché si trova alla stessa altezza dell’origine dell’asse $y$ che sarà in nostro asse verticale di riferimento
• $v_0=0\hspace{0.1cm}m/s$ perché supponiamo (ragionevolmente) che parta da fermo
• $a$ è un’incognita ma sappiamo che è costante e sicuramente maggiore di zero
• $t_0=0\hspace{0.1cm}s$ perché immaginiamo di iniziare a contare il tempo dal decollo del razzo

Inserendo i dati a nostra conoscenza le leggi del moto del razzo sono:

\[\begin{cases}s(t)=0+0\cdot (t-0)+\dfrac{1}{2}a(t-0)^2 \\ v(t)=0+a(t-0)\end{cases}\]

che sistemate un po’ diventano:

\[\begin{cases}s(t)=\dfrac{1}{2}at^2 \\ v(t)=at\end{cases}\]

Sfruttiamo ora i dati sulla posizione del razzo al tempo $t_1$. Infatti sappiamo che dopo un tempo $t_1=90\hspace{0.1cm}s$ dal decollo ha raggiunto un’altezza di $s(t_1)=11000\hspace{0.1cm}m$ dal punto di partenza. Inseriamo questi dati nella legge oraria $s(t)$ ottenendo:

$s(t_1)=\dfrac{1}{2}at_1^2$

cioè mettendo i numeri:

$11000=\dfrac{1}{2}a\cdot 90^2$

In questa formula l’unica lettera (incognita) è l’accelerazione, quindi invertendola possiamo calcolare l’accelerazione del razzo come:

$a=\dfrac{2\cdot 11000}{90^2}=2,7\hspace{0.1cm}m/s^2$

Siccome ora conosciamo l’accelerazione del razzo possiamo completare le leggi del moto che saranno:

\[\begin{cases}s(t)=1,35t^2 \\ v(t)=2,7t\end{cases}\]

L’ultima richiesta è calcolare la velocità del razzo al tempo $t_1$, per farlo basta inserire il tempo $t_1$ nella legge della velocità:

$v(t_1)=2,7\cdot t_1=2,7\cdot 90=243\hspace{0.1cm}m/s$