Problema
Su un corpo viene esercitata una forza che varia di intensità nel tempo come in figura. Calcola l’impulso che tale forza trasferisce all’oggetto. Immagina poi di voler trasferire lo stesso impulso ma applicando una forza costante nello stesso intervallo di tempo, calcola il modulo di tale forza e rappresentala in un grafico.
Svolgimento
Individuiamo dati ed incognite del problema:
DATI
$\Delta t= 8\hspace{0.1cm}s$
$F_{max}=60\hspace{0.1cm}N$
INCOGNITE
$I=?$
$F=?$
Il grafico in figura ci dice come varia nel tempo il modulo della forza che viene applicata al corpo. Analizzando il grafico possiamo cogliere dei dati per risolvere il problema.
Ad esempio osservando l’asse $x$ riusciamo a capire che la forza agisce per un intervallo di durata $\Delta t= 8\hspace{0.1cm}s$.
Dall’asse $y$ invece capiamo che l’intensità massima raggiunta dalla forza è pari a $F_{max}=60\hspace{0.1cm}N$.
Ora ragioniamo su come trovare l’impulso generato da questa forza.
Siccome la forza non è costante nel tempo NON possiamo usare la formula $\vec{I}=\vec{F}\Delta t$.
Ricordando la lezione sull’impulso sappiamo che l’impulso di una forza variabile nel tempo può essere calcolata dall’area sotto il grafico tempo-forza. Nel nostro grafico tempo-forza la linea rossa delimita un triangolo, l’impulso di questa forza è quindi rappresentato dall’area di questo triangolo.
Notiamo che la base e l’altezza del triangolo sono:
$b=\Delta t= 8\hspace{0.1cm}s$
$h=F_{max}=60\hspace{0.1cm}N$
Quindi possiamo calcolare il modulo dell’impulso generato da questa forza variabile con la formula dell’area del triangolo:
$I=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{\Delta t \cdot F_{max}}{2}$
e quindi sostituendo i valori numerici otteniamo:
$I=\dfrac{\Delta t \cdot F_{max}}{2}=\dfrac{8\hspace{0.1cm}s \cdot 60\hspace{0.1cm}N}{2}=240\hspace{0.1cm}N\cdot s$
Il modulo dell’impulso generato dalla forza variabile è quindi di $240\hspace{0.1cm}N\cdot s$, ma ora il problema ci chiede di trovare una forza costante nel tempo e applicata per lo stesso tempo in modo che l’impulso trasmesso sia uguale.
Siccome dobbiamo calcolare una forza costante del tempo diventa valida la formula:
$I=F\Delta t$
quindi isolando la forza otteniamo la formula:
$F=\dfrac{I}{\Delta t}$
l’impulso sarà chiaramente lo stesso che abbiamo calcolato per la forza variabile e anche l’intervallo temporale di azione della forza. Se andiamo ad inserire i valori numerici otteniamo:
$F=\dfrac{I}{\Delta t}=\dfrac{240\hspace{0.1cm}N\cdot s}{8\hspace{0.1cm}s}=30\hspace{0.1cm}N$
Quindi per generare lo stesse impulso della forza variabile possiamo applicare sul corpo una forza costante di $30\hspace{0.1cm}N$ per lo stesso intervallo di tempo.
Il grafico tempo-forza di questa forza costante sarà il seguente:
Chiaramente siccome non varia il suo modulo nel tempo sarà rappresentata da un segmento orizzontale. Ricordiamo inoltre che siccome l’impulso generato dalla forza variabile e dalla forza costante è lo stesso (cioè sempre $240\hspace{0.1cm}N\cdot s$), anche l’area del triangolo rosso e del rettangolo blu saranno uguali.