Problema
Un proiettile di massa $6\hspace{0.1cm}g$ colpisce una parete ad una velocità di $300\hspace{0.1cm}m/s$. Se l’impulso esercitato dalla parete sul proiettile è di $1,98\hspace{0.1cm}N\cdot s$ calcola la velocità di rimbalzo del proiettile.
Svolgimento
Iniziamo definendo quali sono i dati e le incognite del problema:
DATI
$v_i=300 \hspace{0.1cm}m/s$
$m=6\hspace{0.1cm}g=0,006\hspace{0.1cm}kg$
$I=1,98\hspace{0.1cm}N\cdot s$
INCOGNITE
$v_f=?$
In figura abbiamo rappresentato il problema suddividendolo in 3 fasi: prima dell’urto con la parete, durante l’urto e dopo l’urto. Abbiamo inoltre fissato il sistema di riferimento, per descrivere il problema è sufficiente l’asse orizzontale.
L’idea per risolvere l’esercizio è quella di calcolare la quantità di moto finale $p_f$ del proiettile, grazie alla quale possiamo poi calcolare la velocità finale $v_f$.
Come prima cosa calcoliamo il modulo della quantità di moto iniziale $p_i$:
$p_i=mv_i=0,006\hspace{0.1cm}kg\cdot 300 \hspace{0.1cm}m/s=1,8\hspace{0.1cm}kg\cdot m/s$
Poi sfruttiamo il teorema dell’impulso, per il quale l’impulso che agisce su un corpo è uguale alla variazione della quantità di moto, che corrisponde alla formula:
$\vec{I}=\vec{p}_f\hspace{0.1cm} – \hspace{0.1cm}\vec{p}_i$
scriviamo questa formula usando i moduli invece dei vettori, dobbiamo quindi tener conto del verso dei vettori rispetto al sistema di riferimento che abbiamo scelto, ottenendo:
$-I=-p_f-p_i$
da questa formula possiamo isolare $p_f$, quindi otteniamo la quantità di moto finale con la formula:
$p_f=I-p_i=1,98\hspace{0.1cm}N\cdot s-1,8\hspace{0.1cm}kg\cdot m/s=0,18\hspace{0.1cm}kg\cdot m/s$
NOTA: $N\cdot s$ e $kg\cdot m/s$ sono la stessa unità di misura, per questo abbiamo potuto sottrarre le due quantità.
Ora che conosciamo $p_f$ possiamo calcolarci la velocità finale $v_f$:
$v_f=\dfrac{p_f}{m}=\dfrac{0,18\hspace{0.1cm}kg\cdot m/s}{0,006\hspace{0.1cm}kg}=30\hspace{0.1cm}m/s$
Concludiamo che la velocità finale del proiettile è $30\hspace{0.1cm}m/s$.