Problema
Una signora deve uscire per una cena elegante e ha a disposizione $3$ paia di orecchini, $2$ collane e $2$ anelli. Prendendone uno da ciascun gruppo, quanti sono i possibili abbinamenti?
Svolgimento
Questo problema può essere risolto con l’aiuto degli insiemi, infatti i possibili abbinamenti possono essere visti come gli elementi di un prodotto cartesiano di tre insiemi. Ma procediamo per gradi.
Iniziamo definendo gli insiemi che ci serviranno, ad esempio chiamiamo $A$ l’insieme degli orecchini, $B$ l’insieme delle collane e $C$ l’insieme degli anelli. Rappresentiamoli per elencazione:
$A=\{a_1,a_2,a_3\}$
$B=\{b_1,b_2\}$
$C=\{c_1,c_2\}$
scrivere gli elementi degli insiemi ci è utile perché vogliamo andare a formare tutte le possibile terne, cioè gruppi di tre elementi, formate prendendo un elemento da ciascun insieme ad esempio la terna $(a_2,b_1,c_2)$.
Formare tutte le possibili terne non è cosa da poco, per questo è possibile aiutarsi con un diagramma ad albero dove inserire nei rami principali gli elementi di $A$, nei rami secondari gli elementi di $B$ e infine in quelli terziari quelli di $C$.
Il risultato che si ottiene è il seguente:
Contando le terne alle estremità dei rami scopriamo che ci sono $12$ possibili terne e quindi $12$ possibili abbinamenti per la signora.
Come detto all’inizio queste terne sono gli elementi del prodotto cartesiano tra gli insiemi $A$, $B$ e $C$:
$A\times B\times C=\{(a_1,b_1,c_1), (a_1,b_1,c_2),…, (a_3,b_2,c_2)\}$