PROBLEMI CON INSIEMI – ESERCIZIO 4

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Problema

Da un’indagine statistica su un gruppo di studenti universitari è emerso che:

  • $50$ frequentano la biblioteca d’istituto e, fra questi, $42$ non frequentano la biblioteca comunale;
  • $60$ frequentano la biblioteca comunale;
  • $18$ non frequentano né la biblioteca d’istituto né la biblioteca comunale.

Da quanti studenti era composto il gruppo intervistato?

Svolgimento

Come al solito iniziamo andando a definire gli insiemi che utilizzeremo e che poi rappresenteremo graficamente.

Il primo insieme che possiamo definire è l’insieme $U$ di tutti gli studenti che hanno preso parte all’indagine, questo sarà il nostro insieme universo perché è sicuramente il più grande insieme che possiamo definire e qualsiasi altro gruppo di studenti è sicuramente un sottoinsieme di $U$.

$U=\{x|x$ è uno studente che ha preso parte all’indagine$\}$

La cardinalità di $U$ (cioè il numero di elementi al suo interno) non è fornita ma è l’incognita del problema, infatti ci viene richiesto di trovare quanti sono gli studenti intervistati.

Osservando i dati viene naturale definire l’insieme $A$ dei $50$ studenti che frequentano la biblioteca d’istituto e l’insieme $B$ dei $60$ studenti che frequentano la biblioteca comunale.

$A=\{x|x$ è uno studente che frequenta la biblioteca d’istituto$\}$ con cardinalità $|A|=50$

$B=\{x|x$ è uno studente che frequenta la biblioteca comunale$\}$ con cardinalità $|B|=60$

Chiaramente in generale possiamo aspettarci che ci siano studenti che frequentano entrambe le biblioteche e quindi appartengono all’intersezione $A \cap B$. Inoltre ci sono $18$ studenti che non frequentano nessuna delle due e che quindi appartengono all’insieme differenza $U-(A\cup B)$, che è formato dagli elementi che non appartengono né ad $A$ né a $B$.

Proviamo ora a rappresentare con dei diagrammi quanto visto fino ad ora.

diagramma iniziale che descrive i dati dell'esercizio

L’insieme verde contiene gli studenti che frequentano solo la biblioteca d’istituto, dai dati forniti dal problema sappiamo che la sua cardinalità è $|verde|=42$

Per completare l’esercizio dobbiamo trovare il numero di studenti da inserire al posto dei punti interrogativi, cioè le cardinalità dell’insieme giallo (che è l’intersezione) e dell’insieme blu.

Iniziamo trovano la cardinalità dell’insieme giallo, per farlo basta sottrarre dai $50$ studenti che frequentano la biblioteca d’istituto i $42$ che frequentano SOLO la biblioteca d’istituto. Facendo i calcoli con le cardinalità si ottiene che la cardinalità dell’insieme giallo è:

$|giallo|=|A|-|verde|=50-42=8$

Quindi l’intersezione $A\cap B$ contiene quindi $8$ studenti che frequentano entrambe le biblioteche.

Con questo dato appena trovato possiamo calcolare il numero di studenti dell’insieme blu, cioè gli studenti che frequentano SOLO la biblioteca comunale. Per fare ciò basta sottrarre dai $60$ studenti che frequentano la biblioteca comunale gli $8$ studenti che frequentano entrambe le biblioteche. Utilizzando le cardinalità si ottiene che:

$|blu|=|B|-|giallo|=60-8=52$

Quindi ora sappiamo che $52$ studenti frequentano solo la biblioteca comunale. Possiamo così completare il diagramma inserendo i numeri al posto dei punti interrogativi.

diagramma che riporta i risultati travati dai calcoli

Come possiamo vedere dal disegno unendo tutti gli insiemi colorati si ottiene l’insieme universo $U$. Il problema ci chiede di trovare la cardinalità di $U$, per calcolarla basta sommare tutte le cardinalità degli insiemi in figura. Cioè:

$|U|=|rosso|+|verde|+|giallo|+|blu|=18+42+8+52=120$

Quindi il gruppo che è stato intervistato è formato da $120$ studenti.