Problema
Nel menù di un ristorante sono presenti $3$ primi e $2$ secondi. In quanti modi è possibile ordinare un pranzo prendendo un primo e un secondo?
Svolgimento
Questo è il classico problema risolvibile con il prodotto cartesiano tra insiemi.
Definiamo due insiemi, l’insieme $A$ sarà l’insieme dei primi mentre l’insieme $B$ quello dei secondi. Dai dati forniti dall’esercizio sappiamo che l’insieme $A$ contiene $3$ elementi mentre l’insieme $B$ contiene $2$ elementi. Definiamo per elencazione i due insiemi:
$A=\{a_1,a_2,a_3\}$
$B=\{b_1,b_2\}$
Usiamo la rappresentazione per elencazione perché ci permette di identificare gli elementi, così sarà più facile creare le coppie.
L’esercizio ci chiede di calcolare quante sono le possibili coppie $(primo, secondo)$ che possiamo ordinare, queste coppie sono gli elementi dell’insieme prodotto cartesiano $A\times B$. Per trovarle possiamo scegliere vari metodi, qui vedremo la tabella a doppia entrata.
Nella prima colonna metteremo gli elementi di $A$ mentre nelle prima riga metteremo gli elementi di $B$, le coppie si formano nelle celle dove si incrociano gli elementi della prima colonna con quelli della prima riga. Il risultato è il seguente:
Vediamo quindi che si formano $6$ coppie nelle quali il primo elemento è un primo piatto e il secondo elemento è un secondo piatto. Come detto queste coppie sono gli elementi del prodotto cartesiano $A\times B$, ora sappiamo che la sua cardinalità è $|A\times B|=6$. L’esercizio è concluso, ma per completezza rappresentiamo $A\times B$ per elencazione:
$A\times B=\{(a_1,b_1), (a_1,b_2),(a_2,b_1), (a_2,b_2), (a_3,b_1), (a_3,b_2)\}$