Problema
La classe di Giulia è composta da $25$ studenti. Nel primo quadrimestre solo $9$ studenti hanno ottenuto una valutazione sufficiente allo scritto e $10$ studenti una valutazione sufficiente all’orale. Sono risultati insufficienti sia allo scritto che all’orale $12$ studenti. Quanti studenti hanno ottenuto la sufficienza sia all’orale che allo scritto?
Svolgimento
Chiamiamo $U$ l’insieme universo formato da tutti gli studenti della classe di Giulia che conterrà $25$ elementi (gli studenti). Quindi utilizzando la rappresentazione per caratteristica:
$U=\{x| x$ è uno studente della classe di Giulia $\}$, con cardinalità $|U|=25$
Il problema ci dice che $9$ studenti di questa classe hanno una valutazione sufficiente allo scritto, $10$ studenti hanno una valutazione sufficiente all’orale e che $12$ studenti sono insufficienti sia all’orale che allo scritto. Possiamo quindi identificare tre sottoinsiemi di $U$ nel seguente modo:
$A=\{x| x$ è uno studente che ha la sufficienza allo scritto $\}$, con cardinalità $|A|=9$
$B=\{x| x$ è uno studente che la sufficienza all’orale $\}$, con cardinalità $|B|=10$
$C=\{x| x$ è uno studente che ha l’insufficienza sia allo scritto che all’orale $\}$, con cardinalità $|C|=12$
Come detto questi tre insiemi sono sottoinsiemi di $U$. Ma notiamo che i sottoinsiemi $A$ e $B$ possono avere degli elementi in comune, infatti alcuni studenti possono avere la sufficienza sia allo scritto che all’orale. Gli studenti che non appartengono agli insiemi $A$ e $B$ sono quelli che hanno un voto insufficiente sia allo scritto che all’orale e sono contenuti nell’insieme $C$.
Rappresentiamo i dati che abbiamo appena analizzato con i diagrammi.
I punti interrogativi rappresentano dei valori che dobbiamo calcolare, in particolare quello nell’area verde corrisponde al numero di studenti che hanno un voto sufficiente sia allo scritto che all’orale, infatti è l’intersezione tra $A$ e $B$.
Come prima cosa troviamo quanti studenti hanno almeno una sufficienza, ossia la cardinalità dell’unione $A\cup B$. Per fare ciò dobbiamo sottrarre dall’insieme universo $U$ quei $12$ studenti dell’insieme $C$ che hanno entrambi i voti insufficienti. Ne risulta che $25-12=13$ studenti hanno almeno una sufficienza. Usando le cardinalità abbiamo che:
$|A\cup B|= |U|-|C|=25-12=13$
Con questo dato possiamo capire quanti studenti hanno preso la sufficienza allo scritto e quanti solo all’orale.
Infatti se togliamo da questi $13$ i $10$ che hanno ottenuto la sufficienza all’orale otteniamo quelli che hanno preso la sufficienza solo allo scritto (insieme rosso), cioè:
$|rosso|=|A\cup B|-|B|=13-10=3$
Allo stesso modo possiamo calcolare quanti studenti hanno la sufficienza all’orale togliendo dai $13$ i $9$ che hanno preso la sufficienza allo scritto, quindi:
$|viola|=|A\cup B|-|A|=13-9=4$
Ora per concludere l’esercizio e rispondere al quesito del problema bisogna trovare quanti hanno entrambe le sufficienze, cioè dobbiamo calcolare la cardinalità dell’intersezione $A \cap B$, che è l’area verde.
Per fare ciò è possibile seguire diverse strade, noi ne seguiremo due e vedremo che portano allo stesso risultato.
Una prima strada è quella di sottrarre dal totale degli studenti quelli che hanno SOLO una sufficienza ($3+4=7$) e quelli che hanno ENTRAMBE insufficienze ($12$). Otteniamo che la cardinalità dell’intersezione $A\cap B$ (verde) è:
$|verde|=|U|-|C|-(|rosso|+|viola|)=25-12-(3+4)=25-12-7=6$
Una seconda strada consiste nel sottrarre dai $9$ studenti che hanno la sufficienza allo scritto i $3$ studenti che hanno SOLO la sufficienza allo scritto. Quindi la cardinalità dell’intersezione si può calcolare come:
$|verde|=|A|-|rosso|=9-3=6$
Entrambe le strade ci portano allo stesso risultato! Quindi la risposta al quesito è che $6$ studenti hanno la sufficienza sia all’orale che allo scritto.
Inoltre osserviamo che sommando le cardinalità di tutti gli insiemi colorati si ottiene la cardinalità dell’insieme universo $U$, questo ci suggerisce che complessivamente i conti tornano.
Concludiamo rappresentando la soluzione finale con i diagrammi:
