Problema
In un gruppo di $32$ studenti, $20$ studiano la lingua inglese, $12$ la lingua francese e $9$ sia la lingua inglese che quella francese. Quanti studiano almeno una delle due lingue? Quanti non studiano la lingua inglese? Quanti non studiano la lingua francese?
Svolgimento
Iniziamo individuando l’insieme universo di tutti gli studenti, che chiameremo $U$. Utilizzando la rappresentazione per caratteristica possiamo indicare l’insieme $U$ formato da $32$ elementi (gli studenti) come:
$U=\{x| x$ è uno studente $\}$, con cardinalità $|U|=32$
Il problema ci dice che una parte di loro ($20$ studenti) studia inglese e un altro gruppo ($12$ studenti) studia francese.
Possiamo individuare quindi due sottoinsiemi di $U$, che chiameremo $A$ e $B$ che contengono rispettivamente gli studenti che studiano inglese e gli studenti che studiano francese. Diamo una rappresentazione per caratteristica anche ai sottoinsiemi $A$ e $B$:
$A=\{x| x$ è uno studente di inglese $\}$, con cardinalità $|A|=20$
$B=\{x| x$ è uno studente di francese $\}$, con cardinalità $|B|=12$
Il problema ci dice che questi due sottoinsiemi non sono disgiunti ma hanno degli elementi in comune. Esistono infatti $9$ studenti che appartengono sia ad $A$ che a $B$ e che quindi studiano sia inglese che francese. Quindi è possibile definire l’intersezione tra i due insiemi come:
$A\cap B=\{x| x$ è uno studente sia di inglese che di francese $\}$, con cardinalità $|A\cap B|=9$
Proviamo a rappresentare i dati che abbiamo individuato fino ad ora:
Per completare la rappresentazione è necessario trovare il numero di elementi da inserire al posto dei punti interrogativi.
Immaginiamo di voler trovare il numero di elementi da inserire al posto del punto di domanda nell’insieme azzurro. Il numero deve indicare quanti studenti studiano SOLAMENTE la lingua inglese.
Sappiamo che l’insieme $A$ contiene $20$ elementi che sono gli studenti di inglese e che $9$ di loro studiano anche francese. Allora per trovare quanti studenti studiano SOLO inglese è sufficiente togliere dai $20$ i $9$ che studiano anche francese. Facendo la sottrazione $20-9$ otteniamo che gli studenti che studiano solamente inglese sono $11$. Scriviamo la soluzione utilizzando le cardinalità:
$|azzurro|=|A|- |A\cap B|=20-9=11$
Allo stesso modo per trovare il numero di studenti che studiano solo francese è sufficiente fare la sottrazione $12-9$, ottenendo quindi $3$. Cioè la cardinalità dell’insieme giallo è:
$|giallo|=|B|- |A\cap B|=12-9=3$
Infine troviamo la cardinalità dell’insieme verde che rappresenta gli studenti che non studiano né inglese né francese. Per fare ciò dobbiamo sottrarre dal totale degli studenti (cardinalità di $U$) quelli che studiano ALMENO una lingua (cioè la cardinalità di $A\cup B$).
La cardinalità $|A\cup B|$ si trova sommando il numero degli studenti che studiano almeno una lingua, cioè sommando quelli dell’insieme azzurro, viola e giallo, otteniamo quindi che: $|A\cup B|=11+9+3=23$
Gli studenti che non studiano né inglese né francese sono:
$|verde|=|U|-|A\cup B|=32-23=9$
Completiamo quindi la rappresentazione grafica nel seguente modo:
Notiamo che sommando tutte le cardinalità degli insiemi colorati in figura otteniamo la cardinalità di $U$, quindi i conti tornano!
Cerchiamo ora di rispondere alle domande dell’esercizio.
Quanti studiano almeno una delle due lingue?
Per trovare quanti studenti studiano almeno una lingua (cioè gli studenti che appartengono a $A \cup B$) basta sommare i numeri al centro della rappresentazione grafica, infatti ciascuno di essi sicuramente studia almeno una lingua. Otteniamo quindi che $11+9+3=23$ studenti studiano almeno una lingua. Infatti $11$ studiano solo inglese, $3$ solo francese e $9$ sia inglese che francese.
Quanti non studiano la lingua inglese?
Gli studenti che studiano inglese sappiamo essere $20$, cioè tutti quelli contenuti nell’insieme $A$. Per calcolare quanti non studiano inglese è sufficiente togliere dall’insieme universo $U$ di tutti gli studenti i $20$ che studiano inglese. Quindi $32-20=12$ studenti non studiano inglese. Una strada alternativa è sommare il numero degli studenti degli insiemi giallo e verde
Quanti non studiano la lingua francese?
Allo stesso modo per capire quanti non studiano francese basta togliere dall’insieme $U$ i $12$ studenti dell’insieme $B$ che studiano francese. Quindi $32-12=20$ studenti non studiano francese. Altrimenti si possono sommare gli studenti dell’insieme azzurro e verde.