Problema
Studiare la funzione
$f(x)=x^3-7x+6$
Svolgimento
Dividiamo lo studio di funzione in parti, iniziamo determinando il dominio.
DOMINIO
La funzione da studiare è un polinomio pertanto non ci sono particolari condizioni da imporre, va bene qualsiasi valore di $x$ quindi il dominio della funzione è:
$\mathcal{D}= \mathbb{R}$
simmetrie
Controlliamo se la funzione è pari o dispari trasformando $x$ in $-x$. Calcoliamo quindi:
$f(-x)=(-x)^3-7(-x)+6=-x^3+7x+6$
Quindi concludiamo che siccome $f(-x)\ne \pm f(x)$ la funzione non è né pari né dispari.
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
Iniziamo andando a verificare se il grafico della funzione interseca l’asse $y$. Per fare ciò poniamo $x=0$ e inseriamo il valore nella funzione, calcoliamo quindi:
$f(0)=0^3-7\cdot 0 +6=6$
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse $y$ nel punto di coordinate $(0,6)$
Passiamo alle intersezioni con l’asse $x$, per calcolare i punti poniamo $f(x)=0$, da cui otteniamo l’equazione:
$x^3-7x+6=0$
Non essendo un’equazione di facile risoluzione scomponiamo in fattori con Ruffini il polinomio (che si annulla per x=1):

Quindi possiamo riscriviamo il polinomio come $x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$, l’equazione da risolvere diventa:
$(x-1)(x^2+x-6)=0$
Il primo fattore ci fornisce $x=1$, mentre il secondo fattore di secondo grado ha come risultato $x=2$ e $x=-3$.
Concludiamo che ci sono tre punti di intersezione con l’asse $x$ che hanno coordinate $(1,0),(2,0),(-3,0)$.
STUDIO DEL SEGNO
Studiamo il segno della funzione risolvendo la disequazione $f(x)>0$, in questo caso è utile scrivere la funzione in modo fattorizzato come visto nella sezione precedente. Risolviamo quindi la disequazione:
$(x-1)(x^2+x-6)>0$
Per risolverla studiamo il segno di ciascun fattore e compiliamo la tabella dei segni.
$x-1>0\longrightarrow x>1$
$x^2+x-6>0\longrightarrow x<-3 \vee x>2$
Compiliamo quindi la tabella dei segni

Possiamo conclude quindi che:
- $f(x)>0$ se $-3<x<1 \vee x>2$
- $f(x)<0$ se $x<-3 \vee 1<x<2$.
studio dei limiti
Studiamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Essendo che $\mathcal{D}= \mathbb{R}$ i limiti da studiare sono i seguenti:
$\lim_{x \to + \infty} x^3-7x+6=\lim_{x \to + \infty}x^3\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=+\infty$
$\lim_{x \to – \infty} x^3-7x+6=\lim_{x \to – \infty} x^3\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=-\infty$
Siccome i limiti per $x \to \pm \infty$ sono infinito, controlliamo se la funzione possiede asintoti obliqui calcolando il limite:
$m=lim_{x \to \pm \infty } \dfrac{f(x)}{x}=lim_{x \to \pm \infty } x^2 -7 +\dfrac{6}{x}=+\infty$
Essendo il limite $+\infty$ non esistono asintoti obliqui.
derivata prima
Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:
$f'(x)=3x^2-7$
Ora cerchiamo i punti stazionari, ossia i punti nei quali $f'(x)=0$, per poi studiare il segno di $f'(x)$.
Partiamo trovando i punti stazionari risolvendo l’equazione:
$3x^2-7=0$
che ha come risultato $x=\pm \sqrt{\dfrac{7}{3}}$.
Per capire se i due punti trovati sono massimi o minimi studiamo il segno di $f'(x)$ risolvendo la disequazione $f'(x)>0$:
$3x^2-7>0$
e ha come soluzione $x<-\sqrt{\dfrac{7}{3}} \vee x>\sqrt{\dfrac{7}{3}}$

Quindi si ha che:
- $f'(x)>0$ se $x<-\sqrt{\dfrac{7}{3}} \vee x>\sqrt{\dfrac{7}{3}}$
- $f'(x)<0$ se $-\sqrt{\dfrac{7}{3}}<x<\sqrt{\dfrac{7}{3}}$
Concludiamo che in $x=-\sqrt{\dfrac{7}{3}} $ la funzione $f(x)$ ha un massimo, mentre in $x=\sqrt{\dfrac{7}{3}} $ ha un minimo.
Troviamo la coordinata $y$ di questi punti sostituendo i valori in $f(x)$:
$f\left(-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)=-\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)^3+7\sqrt{\dfrac{7}{3}}+6\approx 13,1$
$f\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)=\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)^3-7\sqrt{\dfrac{7}{3}}+6\approx -1,1$
derivata seconda
Passiamo ora al calcolo della derivata seconda $f^{”}(x)$:
$f^{”}(x)=6x$
In questo caso studiamo i punti in cui $f^{”}(x)=0$ per cercare eventuali punti di flesso, quindi risolviamo l’equazione:
$6x=0$
che ha soluzione $x=0$.
Studiamo ora il segno di $f^{”}(x)$ risolvendo la disequazione $f^{”}(x)>0$:
$6x>0$ che fornisce la soluzione $x>0$
Quindi abbiamo che:
- $f^{”}(x)>0$ se $x>0$ quindi $f(x)$ è convessa
- $f^{”}(x)<0$ se $x<0$ quindi $f(x)$ è concava
Possiamo quindi concludere che in $x=0$ la funzione $f(x)$ ha un punto di flesso.
Concludiamo con un disegno “a mano”:

e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:
