STUDIO DI FUNZIONE POLINOMIALE – ESERCIZIO 1

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Problema

Studiare la funzione

$f(x)=x^3-7x+6$

Svolgimento

Dividiamo lo studio di funzione in parti, iniziamo determinando il dominio.

DOMINIO

La funzione da studiare è un polinomio pertanto non ci sono particolari condizioni da imporre, va bene qualsiasi valore di $x$ quindi il dominio della funzione è:

$\mathcal{D}= \mathbb{R}$

simmetrie

Controlliamo se la funzione è pari o dispari trasformando $x$ in $-x$. Calcoliamo quindi:

$f(-x)=(-x)^3-7(-x)+6=-x^3+7x+6$

Quindi concludiamo che siccome $f(-x)\ne \pm f(x)$ la funzione non è né pari né dispari.

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Iniziamo andando a verificare se il grafico della funzione interseca l’asse $y$. Per fare ciò poniamo $x=0$ e inseriamo il valore nella funzione, calcoliamo quindi:

$f(0)=0^3-7\cdot 0 +6=6$

Quindi il grafico della funzione interseca l’asse $y$ nel punto di coordinate $(0,6)$

Passiamo alle intersezioni con l’asse $x$, per calcolare i punti poniamo $f(x)=0$, da cui otteniamo l’equazione:

$x^3-7x+6=0$

Non essendo un’equazione di facile risoluzione scomponiamo in fattori con Ruffini il polinomio (che si annulla per x=1):

scomposizione con metodo di ruffini del polinomio x^3-7x+6

Quindi possiamo riscriviamo il polinomio come $x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$, l’equazione da risolvere diventa:

$(x-1)(x^2+x-6)=0$

Il primo fattore ci fornisce $x=1$, mentre il secondo fattore di secondo grado ha come risultato $x=2$ e $x=-3$.

Concludiamo che ci sono tre punti di intersezione con l’asse $x$ che hanno coordinate $(1,0),(2,0),(-3,0)$.

STUDIO DEL SEGNO

Studiamo il segno della funzione risolvendo la disequazione $f(x)>0$, in questo caso è utile scrivere la funzione in modo fattorizzato come visto nella sezione precedente. Risolviamo quindi la disequazione:

$(x-1)(x^2+x-6)>0$

Per risolverla studiamo il segno di ciascun fattore e compiliamo la tabella dei segni.

$x-1>0\longrightarrow x>1$

$x^2+x-6>0\longrightarrow x<-3 \vee x>2$

Compiliamo quindi la tabella dei segni

studio del segno della funzione polinomiale x^3-7x+6

Possiamo conclude quindi che:

  • $f(x)>0$ se $-3<x<1 \vee x>2$
  • $f(x)<0$ se $x<-3 \vee 1<x<2$.

studio dei limiti

Studiamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Essendo che $\mathcal{D}= \mathbb{R}$ i limiti da studiare sono i seguenti:

$\lim_{x \to + \infty} x^3-7x+6=\lim_{x \to + \infty}x^3\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=+\infty$

$\lim_{x \to – \infty} x^3-7x+6=\lim_{x \to – \infty} x^3\left(1-\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=-\infty$

Siccome i limiti per $x \to \pm \infty$ sono infinito, controlliamo se la funzione possiede asintoti obliqui calcolando il limite:

$m=lim_{x \to \pm \infty } \dfrac{f(x)}{x}=lim_{x \to \pm \infty } x^2 -7 +\dfrac{6}{x}=+\infty$

Essendo il limite $+\infty$ non esistono asintoti obliqui.

derivata prima

Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:

$f'(x)=3x^2-7$

Ora cerchiamo i punti stazionari, ossia i punti nei quali $f'(x)=0$, per poi studiare il segno di $f'(x)$.

Partiamo trovando i punti stazionari risolvendo l’equazione:

$3x^2-7=0$

che ha come risultato $x=\pm \sqrt{\dfrac{7}{3}}$.

Per capire se i due punti trovati sono massimi o minimi studiamo il segno di $f'(x)$ risolvendo la disequazione $f'(x)>0$:

$3x^2-7>0$

e ha come soluzione $x<-\sqrt{\dfrac{7}{3}} \vee x>\sqrt{\dfrac{7}{3}}$

derivata prima funzione polinomiale

Quindi si ha che:

  • $f'(x)>0$ se $x<-\sqrt{\dfrac{7}{3}} \vee x>\sqrt{\dfrac{7}{3}}$
  • $f'(x)<0$ se $-\sqrt{\dfrac{7}{3}}<x<\sqrt{\dfrac{7}{3}}$

Concludiamo che in $x=-\sqrt{\dfrac{7}{3}} $ la funzione $f(x)$ ha un massimo, mentre in $x=\sqrt{\dfrac{7}{3}} $ ha un minimo.

Troviamo la coordinata $y$ di questi punti sostituendo i valori in $f(x)$:

$f\left(-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)=-\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)^3+7\sqrt{\dfrac{7}{3}}+6\approx 13,1$

$f\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)=\left(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right)^3-7\sqrt{\dfrac{7}{3}}+6\approx -1,1$

derivata seconda

Passiamo ora al calcolo della derivata seconda $f^{”}(x)$:

$f^{”}(x)=6x$

In questo caso studiamo i punti in cui $f^{”}(x)=0$ per cercare eventuali punti di flesso, quindi risolviamo l’equazione:

$6x=0$

che ha soluzione $x=0$.

Studiamo ora il segno di $f^{”}(x)$ risolvendo la disequazione $f^{”}(x)>0$:

$6x>0$ che fornisce la soluzione $x>0$

Quindi abbiamo che:

  • $f^{”}(x)>0$ se $x>0$ quindi $f(x)$ è convessa
  • $f^{”}(x)<0$ se $x<0$ quindi $f(x)$ è concava

Possiamo quindi concludere che in $x=0$ la funzione $f(x)$ ha un punto di flesso.

Concludiamo con un disegno “a mano”:

disegno a mano della funzione polinomiale x^3-7x+6

e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:

grafico della funzione polinomiale x^3-7x+6