Problema
Studiare la funzione:
$f(x)=ln^2(x)-4ln(x)+3$
Svolgimento
Dividiamo lo studio di funzione in sezioni, partiamo determinando il dominio della funzione.
dominio
La funzione da studiare contiene dei logaritmi sottratti tra loro, l’unica condizione necessaria è porre l’argomento dei logaritmi maggiore strettamente di zero.
In questo caso otteniamo semplicemente $x>0$.
Pertanto scriviamo il dominio come $\mathbb{D}= (0,+ \infty)$
simmetrie
Vediamo se la funzione è pari o dispari trasformando $x$ in $-x$. Troviamo quindi $f(-x)$:
$f(-x)=ln^2(-x)-4ln(-x)+3$
Possiamo concludere che essendo $f(-x) \ne f(x)$ e che $f(-x) \ne -f(x)$ la nostra funzione non è né pari né dispari.
intersezione con gli assi
Nel nostro caso non ha senso studiare le intersezioni con l’asse $y$ in quanto il punto $x=0$ non fa parte del dominio della funzione e quindi non ci saranno sicuramente intersezioni.
Passiamo alle intersezioni con l’asse $x$ ponendo $y=0$:
$ln^2(x)-4ln(x)+3=0$
l’equazione si risolve per sostituzione ponendo $t=ln(x)$ e ha soluzione $x=e$, $x=e^3$.
Abbiamo quindi due punti di intersezione con l’asse $x$ in $P_1=\left(e;0\right)$ e in $P_2=\left(e^3;0\right)$.
studio del segno
Studiamo il segno di $f(x)$ risolvendo la disequazione $f(x)>0$:
$ln^2(x)-4ln(x)+3>0$
che ha soluzione $0<x<e \vee x>e^3$.
Possiamo concludere che:
- $f(x)>0$ se $0<x<e \vee x>e^3$
- $f(x)<0$ se $e<x<e^3$
studio dei limiti
Studio il comportamento della funzione agli estremi del dominio. In questo caso valuteremo i limiti per $x \to 0^+$ e per $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to 0^+} ln^2(x)-4ln(x)+3=+\infty$
$\lim_{x \to + \infty} ln^2(x)-4ln(x)+3=+\infty$
Abbiamo quindi un asintoto verticale in $x=0$.
Controlliamo un possibile asintoto obliquo:
$m=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{ln^2(x)-4ln(x)+3}{x}=0$
pertanto concludiamo che non ci sono asintoti obliqui.
derivata prima
Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:
$f'(x)=\dfrac{2ln(x)}{x}-\dfrac{4}{x}=\dfrac{2ln(x)-4}{x}$
Cerchiamo ora i punti i cui $f'(x)=0$ e studiamone poi il segno.
Risolviamo l’equazione $\dfrac{2ln(x)-4}{x}=0$ che ha come soluzione $x=e^2$.
Studiamo il segno della derivata prima risolvendo la disequazione $f'(x)>0$:
$\dfrac{2ln(x)-4}{x}>0$
Studiamo separatamente numeratore e denominatore:
- studiando il numeratore $2ln(x)-4>0$ otteniamo $x>e^2$
- studiando il denominatore otteniamo direttamente $x>0$
Compilando la tabella dei segni si ottiene:
Concludiamo quindi che:
- $f'(x)>0$ se $x>e^2$ quindi $f(x)$ è crescente
- $f'(x)<0$ se $x<e^2$ quindi $f(x)$ è decrescente
Possiamo quindi affermare che in $x=e^2$ la funzione $f(x)$ ha un minimo, troviamo la coordinata $y$:
$f(e^2)=ln^2(e^2)-4ln(e^2)+3=-1$
derivata seconda
Calcoliamo la derivata seconda $f^{”}(x)$:
$f^{”}(x)=\dfrac{\dfrac{2}{x}x-(2ln(x)-4)}{x^2}=\dfrac{-2ln(x)+6}{x^2}$
Cerchiamo ora i punti in cui $f^{”}(x)=0$ per trovare eventuali flessi:
$\dfrac{-2ln(x)+6}{x^2}=0$
che equivale a trovare i punti in cui si annulla il numeratore, quindi risolviamo l’equazione:
$-2ln(x)+6=0$ che ha soluzione $x=e^3$
Passiamo allo studio del segno di $f^{”}(x)$ andando a risolvere la disequazione $f^{”}(x)>0$:
$\dfrac{-2ln(x)+6}{x^2}>0$
Studiamo separatamente numeratore e denominatore:
- studiando il numeratore $-2ln(x)+6>0$ otteniamo $x<e^3$
- studiando il denominatore $x^2>0$ otteniamo $\forall x \ne 0$
Compiliamo la tabella dei segni:
Concludiamo quindi che $f(x)$ ha un flesso in $x=e^3$, inoltre:
- $f^{”}(x)>0$ se $x<e^3$ quindi $f(x)$ è convessa
- $f^{”}(x)<0$ se $x>e^3$ quindi $f(x)$ è concava
Concludiamo con un disegno “a mano”:
e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:
