Problema
Studiare la funzione:
$f(x)=\dfrac{e^x}{x^2-4}$
Svolgimento
Dividiamo lo studio di funzione in sezioni, partiamo determinando il dominio della funzione.
dominio
La funzione da studiare è una funzione fratta. L’unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da zero $x^2-4 \ne 0$.
Troviamo quindi i valori di $x$ che risolvono l’equazione $x^2-4=0$, cioè $x=2$ e $x=-2$
Il dominio $\mathcal{D}$ della funzione $f(x)$ è quindi l’insieme dei numeri reali privato dei punti $\{-2;2\}$, cioè:
$\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$
simmetrie
Vediamo ora se la funzione è pari o dispari, per fare ciò troviamo $f(-x)$ trasformando quindi $x$ in $-x$:
$f(-x)=\dfrac{e^{-x}}{(-x)^2-4}=\dfrac{e^{-x}}{x^2-4}$
possiamo concludere che essendo $f(-x)\ne f(x)$ e che $f(-x)\ne -f(x)$ allora la funzione $f(x)$ non è né pari né dispari.
intersezione con gli assi
Cerchiamo eventuali intersezioni tra la funzione e gli assi cartesiani. Studiamo l’intersezione con l’asse $y$ che si effettua ponendo $x=0$.
$f(0)=y=\dfrac{e^0}{0^2-4}=- \dfrac{1}{4}$
Quindi la funzione interseca l’asse $y$ nel punto $P=\left(0,- \dfrac{1}{4} \right)$.
Passiamo ora alle intersezioni con l’asse $x$ ponendo $y=0$:
$\dfrac{e^x}{x^2-4}=0$
che corrisponde a trovare per quali valori si annulla $e^x=0$. Questa equazione non ha soluzione, pertanto non esistono intersezioni con l’asse $x$.
Studio del segno
Studiamo ora il segno di $f(x)$ risolvendo la disequazione $f(x)>0$:
$\dfrac{e^x}{x^2-4}>0$
Studiamo separatamente numeratore e denominatore :
- studiando il numeratore $e^x>0$ si ottiene la soluzione $\forall x \in \mathbb{R}$
- studiando il denominatore $x^2-4>0$ si ottiene la soluzione $x<-2 \vee x>2$
Completiamo la tabella dei segni ottenendo:

Quindi otteniamo che:
- $f(x)>0$ se $x<-2 \vee x>2$
- $f(x)<0$ se $-2<x<2$
studio dei limiti
Passiamo ora allo studio dei limiti agli estremi del dominio e nei punti in cui la funzione ha qualche problema. Nel nostro caso i limiti da studiare saranno $x \rightarrow \pm \infty$ e i limiti $x \rightarrow \pm 2^{\pm}$. Quindi (usando il teorema di de l’Hopital nel primo limite) otteniamo che:
$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{e^x}{x^2-4}=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{e^x}{2}=+ \infty$
$\lim_{x \to – \infty} \dfrac{e^x}{x^2-4}=0$
$\lim_{x \to – 2^-} \dfrac{e^x}{x^2-4}=+ \infty$
$\lim_{x \to – 2^+} \dfrac{e^x}{x^2-4}=- \infty$
$\lim_{x \to +2^-} \dfrac{e^x}{x^2-4}=- \infty$
$\lim_{x \to +2^+} \dfrac{e^x}{x^2-4}=+ \infty$
La funzione $f(x)$ ha quindi asintoti verticali per $x=-2$ e per $x=2$ mentre per $y=0$ ha un asintoto orizzontale.
Possiamo controllare se ci sono asintoti obliqui per $x \to +\infty$:
$m=lim_{x \to +\infty } \dfrac{f(x)}{x}=lim_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x^3-4x}=+\infty$
concludiamo che non ci sono asintoti obliqui.
derivata prima
Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:
$f'(x)=\dfrac{e^x(x^2-4)-e^x(2x)}{(x^2-4)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x-4)}{(x^2-4)^2}$
Ora è necessario trovare i punti stazionari in cui $f'(x)=0$ e studiare il segno di $f'(x)$.
Partiamo cercando per quali valori di $x$ abbiamo che $f'(x)=0$:
$\dfrac{e^x(x^2-2x-4)}{(x^2-4)^2}=0$
che corrisponde all’equazione $e^x(x^2-2x-4)=0$ con soluzione $x=1-\sqrt{5}$ e $x=1+\sqrt{5}$ che saranno quindi due punti stazionari per $f(x)$.
Studiamo ora il segno di $f'(x)$ risolvendo la disequazione $f'(x)>0$:
$\dfrac{e^x(x^2-2x-4)}{(x^2-4)^2}>0$
Studiamo separatamente numeratore e denominatore :
- studiando il numeratore $e^x(x^2-2x-4)>0$ si ottiene la soluzione $x<1-\sqrt{5} \vee x>1+\sqrt{5}$
- studiando il denominatore $(x^2-4)^2>0$ si ottiene la soluzione $\forall x \in \mathcal{D}$
Completiamo la tabella dei segni ottenendo:

Otteniamo quindi che:
- $f'(x)>0$ se $x<1-\sqrt{5} \vee x>1+\sqrt{5}$ quindi $f(x)$ è crescente
- $f'(x)<0$ se $1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}$ quindi $f(x)$ è decrescente
Possiamo quindi concludere che in $x=1-\sqrt{5}$ la funzione ha un massimo locale, mentre per $x=1+\sqrt{5}$ la funzione ha un minimo locale.
Calcoliamo la coordinata $y$ del massimo e del minimo per rendere più facile l’individuazione nel grafico:
$f(1-\sqrt{5})=\dfrac{e^{1-\sqrt{5}}}{(1-\sqrt{5})^2-4} \approx -0.12$
$f(1+\sqrt{5})=\dfrac{e^{1+\sqrt{5}}}{(1+\sqrt{5})^2-4} \approx 3.93$
derivata seconda
Calcoliamo la derivata seconda $f^{”}(x)$ derivando $f'(x)$:
$f^{”}(x)=\dfrac{[e^x(x^2-2x-4)+e^x(2x-2)](x^2-4)^2-e^x(x^2-2x-4)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$
$=\dfrac{e^x(x^4-4x^3-2x^2+16x+24)}{(x^2-4)^3}$
Anche per la derivata seconda si cercano punti in cui si annulla e poi si studia il suo segno. Cerchiamo i punti in cui si annulla ponendo $f^{”}(x)=0$:
$\dfrac{e^x(x^4-4x^3-2x^2+16x+24)}{(x^2-4)^3}=0$
Per risolvere questa equazione è necessario trovare quali $x$ risolvono $x^4-4x^3-2x^2+16x+24=0$. Tuttavia questa equazione non ha soluzione reale, ma verificarlo può non essere facile. Un possibile modo è riscrivere il polinomio come somma di termini strettamente positivi:
$x^4-4x^3-2x^2+16x+24=(x^2-2x-4)^2+2x^2+8>0$
questo dimostra che non esiste $x$ che annulli il polinomio.
Tornando alla nostra derivata seconda possiamo concludere che non si annulla mai, non sono quindi presenti punti di flesso.
Studiamo ora il segno di $f^{”}(x)$ risolvendo la disequazione $f^{”}(x)>0$:
$\dfrac{e^x(x^4-4x^3-2x^2+16x+24)}{(x^2-4)^3}>0$
Studiando separatamente il numeratore e il denominatore otteniamo che:
- studiando il numeratore $e^x(x^4-4x^3-2x^2+16x+24)>0$ si ottiene la soluzione $\forall x \in \mathbb{R}$
- studiando il denominatore $(x^2-4)^3>0$ si ottiene la soluzione $x<-2 \vee x>2$
Dalla tabella dei segni otteniamo che:

Possiamo concludere che:
- $f^{”}(x)>0$ se $x<-2 \vee x>2$ quindi $f(x)$ è convessa
- $f^{”}(x)<0$ se $-2<x<2$ quindi $f(x)$ è concava
Concludiamo con un disegno “a mano”:

e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:
