Problema
Studiare la funzione:
$f(x)=e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}$
Svolgimento
Dividiamo lo studio di funzione in sezioni, partiamo determinando il dominio della funzione.
dominio
La funzione da studiare è un esponenziale che ha come argomento un polinomio fratto. Dobbiamo evitare che il denominatore del polinomio sia nullo. Cerchiamo quindi per quali $x$ si annulla il denominatore e per poi escludere tali valori dal dominio. Risolviamo quindi l’equazione:
$2x=0$ che ha soluzione $x=0$
Il dominio della funzione è quindi $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
simmetrie
Vediamo se la funzione è pari o dispari trasformando la $x$ in $-x$. Calcoliamo quindi $f(-x)$:
$f(-x)=e^{\LARGE \frac{-x-1}{2(-x)}}=e^{\LARGE \frac{x+1}{2x}}$
Essendo che $f(-x)\ne f(x)$ e che $f(-x)\ne -f(x)$ la nostra funzione non è né pari né dispari.
intersezione con gli assi
Cerchiamo eventuali intersezioni tra la funzione e gli assi cartesiani. Studiamo l’intersezione con l’asse $y$, che si effettua ponendo $x=0$. Tuttavia la nostra funzione non è definita in $x=0$ quindi non ci sono intersezioni con l’asse $y$.
Passiamo alle intersezioni con l’asse $x$ e ponendo quindi $y=0$ otteniamo l’equazione:
$e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}=0$
essendo l’esponenziale sempre strettamente maggiore di $0$ questa equazione non ha soluzione. Pertanto concludiamo che non esistono intersezioni nemmeno con l’asse $x$.
studio del segno
Studiamo il segno di $f(x)$ risolvendo la disequazione $f(x)>0$:
$e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}>0$
Tuttavia sappiamo già che sarà sempre verificata $\forall x \in \mathcal{D}$ in quanto la funzione esponenziale è sempre maggiore di zero. Concludiamo quindi che la nostra $f(x)$ sarà sempre positiva cioè sempre sopra l’asse delle $x$.
studio dei limiti
Passiamo al calcolo dei limiti agli estremi del dominio e nel punto $x=0$ in cui la funzione ha dei problemi. In questo caso i limiti saranno per $x\rightarrow \pm \infty$ e per $x\rightarrow 0^{\pm}$.
$\lim_{x \to + \infty} e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}} =\lim_{x \to + \infty}e^{\LARGE \frac{1-\LARGE\frac{1}{x}}{2}}=\sqrt{e}$
$\lim_{x \to – \infty} e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}} =\lim_{x \to – \infty}e^{\LARGE \frac{1-\LARGE\frac{1}{x}}{2}}=\sqrt{e}$
$\lim_{x \to 0^{+}} e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}=0$
$\lim_{x \to 0^{-}} e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}=+\infty$
Avremo quindi che $x=0$ è un asintoto verticale, mentre $y=\sqrt{e}$ è un asintoto orizzontale.
derivata prima
Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:
$f'(x)=e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}\left(\dfrac{1\cdot2x-(x-1)\cdot 2}{(2x)^2}\right)=\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{2x^2}$
Passiamo ora allo studio di $f'(x)$ cercando se si annulla in alcuni punti e studiando poi il suo segno.
Partiamo cercando i punti in cui si annulla ponendo $f'(x)=0$:
$\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{2x^2}=0$
Questa equazione non ha soluzione, pertanto $\nexists x|f'(x)=0$.
Studiamo ora il segno di $f'(x)$ risolvendo la disequazione $f'(x)>0$:
$\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{2x^2}>0$
Risolviamo numeratore e denominatore separatamente:
- studiando il numeratore $e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}>0$ otteniamo $\forall x \in \mathcal{D}$
- studiando il denominatore $2x^2>0$ otteniamo $\forall x \in \mathcal{D}$
La derivata è quindi sempre positiva, la nostra funzione $f(x)$ sarà pertanto sempre crescente.
derivata seconda
Calcoliamo la derivata seconda $f^{”}(x)$ derivando $f'(x)$:
$f^{”}(x)=\dfrac{\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{2x^2}\cdot 2x^2-e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}\cdot4x}{(2x^2)^2}=\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{4x^4}(1-4x)$
Anche per la derivata seconda si cercano punti in cui si annulla e poi si studia il suo segno. Cerchiamo i punti in cui si annulla ponendo $f^{”}(x)=0$:
$\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{4x^4}(1-4x)=0$
essendo che $\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{4x^4}$ non è mai uguale a zero, l’equazione si riduce a:
$1-4x=0$ che ha soluzione $x=\dfrac{1}{4}$
Ora bisogna sostituire $x=\dfrac{1}{4}$ nella $f(x)$ per ottenere la coordinata $y$ del punto:
$y=f\left(\dfrac{1}{4}\right)=e^{\LARGE \frac{\LARGE \frac{1}{4}-1}{2\LARGE \cdot \frac{1}{4}}}=e^{\LARGE -\frac{3}{2}}$
Otteniamo quindi il punto $P=\left(\dfrac{1}{4},e^{\LARGE -\frac{3}{2}}\right)$.
Studiamo ora il segno di $f^{”}(x)$ ponendo $f^{”}(x)>0$:
$\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{4x^4}(1-4x)>0$
essendo che $\dfrac{e^{\LARGE \frac{x-1}{2x}}}{4x^4}$ è sempre maggiore di zero in $\mathcal{D}$ è sufficiente risolvere:
$1-4x>0$ che ha soluzione $x<\dfrac{1}{4}$
Compiliamo la tabella dei segni e otteniamo:
Otteniamo che:
- $f^{”}(x)>0$ se $x<\dfrac{1}{4}$ quindi $f(x)$ è convessa
- $f^{”}(x)<0$ se $x>\dfrac{1}{4}$ quindi $f(x)$ è concava
Il punto $P=\left(\dfrac{1}{4},e^{\LARGE -\frac{3}{2}}\right)$ è punto di flesso perché per $x=\dfrac{1}{4}$ la funzione cambia concavità.
Concludiamo con un disegno “a mano”:
e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:
