Problema
Studiare la funzione:
$f(x)=\dfrac{3e^x-1}{e^x-1}$
Svolgimento
Dividiamo lo studio di funzione in sezioni, partiamo determinando il dominio della funzione.
dominio
La funzione dell’esercizio è una funzione fratta. Il suo numeratore è definito per qualsiasi valore di $x$, il denominatore invece sappiamo che non deve annullarsi mai. Cerchiamo quindi quali $x$ annullano il denominatore per poi escluderle dal dominio. Risolviamo quindi l’equazione:
$e^x-1=0$ che ha soluzione $x=0$
Dobbiamo quindi eliminare il valore $x=0$. Il dominio della nostra funzione sarà:
$\mathcal{D}= \mathbb{R}\setminus \{0\}$
simmetrie
Vediamo se la funzione è pari o dispari. Per fare ciò trasformiamo $x$ in $-x$.
$f(-x)=\dfrac{3e^{-x}-1}{e^{-x}-1}$
Essendo che $f(-x)\ne f(x)$ e che $f(-x)\ne -f(x)$ la nostra funzione non è né pari né dispari.
intersezione con gli assi
Studiamo le possibili intersezioni con gli assi $x$ e $y$. Iniziamo cercando possibili intersezioni con l’asse $y$, questo si effettua ponendo $x=0$ tuttavia la nostra funzione non è definita in $x=0$ quindi possiamo concludere che non avrà intersezioni con l’asse.
Cerchiamo ora le intersezioni con l’asse $x$ ponendo $y=0$, otteniamo così l’equazione:
$\dfrac{3e^{x}-1}{e^{x}-1}=0$
per risolverla è sufficiente cercare per quali valori si annulla il numeratore, l’equazione diventa quindi:
$3e^x-1=0$ che ha come soluzione $x=ln\dfrac{1}{3}$
Otteniamo quindi che ci sarà un punto di intersezione con l’asse delle $x$ nel punto $P=\left(ln\dfrac{1}{3}, 0\right)$.
Studio del segno
Studiamo il segno di $f(x)$ risolvendo la disequazione $f(x)>0$:
$\dfrac{3e^{x}-1}{e^{x}-1}>0$
Separando numeratore e denominatore otteniamo:
- studiando il numeratore $3e^{x}-1>0$ otteniamo $x>ln\dfrac{1}{3}$
- studiando il denominatore $e^{x}-1>0$ otteniamo $x>0$
Vediamo ora la tabella dei segni:
Abbiamo ottenuto quindi che:
- $f(x)>0$ se $x<ln\dfrac{1}{3} \vee x>0$
- $f(x)<0$ se $ln\dfrac{1}{3}<x<0$
studio dei limiti
Passiamo al calcolo dei limiti nei punti “particolari” della funzione. In questo caso i limiti saranno per $x\rightarrow \pm \infty$ e per $x\rightarrow 0^{\pm}$.
$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3e^x-1}{e^x-1}=\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\left(3-\dfrac{1}{e^x}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{e^x}\right)}=3$
$\lim_{x \to – \infty} \dfrac{3e^x-1}{e^x-1}=1$
$\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{3e^x-1}{e^x-1}=+\infty$
$\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{3e^x-1}{e^x-1}=-\infty$
Avremo quindi che $x=0$ è un asintoto verticale, mentre $y=3$ e $y=1$ sono asintoti orizzontali.
Derivata prima
Calcoliamo la derivata prima $f'(x)$:
$f'(x)=\dfrac{3e^x(e^x-1)-(3e^x-1)e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{-2e^x}{(e^x-1)^2}$
Studiamo la funzione $f'(x)$ cercando prima se si annulla in alcuni punti e successivamente controllando il suo segno. Partiamo cercando le $x$ per cui $f'(x)=0$:
$\dfrac{-2e^x}{(e^x-1)^2}=0$
cioè cerchiamo le $x$ che annullano il numeratore:
$-2e^x=0$ questa equazione non ha soluzione, pertanto $\nexists x | f'(x)=0$.
La funzione non possiede quindi punti stazionari.
Studiamo il segno di $f'(x)$, risolvendo la disequazione $f'(x)>0$ per capire quando è positiva e quando è negativa.
$\dfrac{-2e^x}{(e^x-1)^2}>0$
Separando numeratore e denominatore, si ottiene che:
- studiando il numeratore $-2e^x>0$ otteniamo $\nexists x \in \mathcal{D}$
- studiando il denominatore $(e^x-1)^2>0$ otteniamo $\forall x \in \mathcal{D}$
Compilando la tabella dei segni si ottiene che:
Quindi essendo $f'(x)$ negativa per qualsiasi valore di $x$ la nostra funzione di partenza $f(x)$ sarà sempre decrescente.
derivata seconda
Calcoliamo la derivata seconda $f^{”}(x)$ derivando $f'(x)$:
$f^{”}(x)=\dfrac{-2e^x(e^x-1)^2-(-2e^x)2(e^x-1)e^x}{(e^x-1)^4}=\dfrac{2e^x(e^x+1)}{(e^x-1)^3}$
Anche la derivata seconda va studiata cercando prima i punti in cui si annulla, poniamo quindi $f^{”}(x)=0$:
$\dfrac{2e^x(e^x+1)}{(e^x-1)^3}=0$
cioè cerchiamo per quali $x$ si annulla il numeratore
$2e^x(e^x+1)=0$ da cui otteniamo $\nexists x|f^{”}(x)=0$.
Studiamo ora il segno di $f^{”}(x)$, ponendo $f^{”}(x)>0$:
$\dfrac{2e^x(e^x+1)}{(e^x-1)^3}>0$
Separando numeratore e denominatore, si ottiene che:
- studiando il numeratore $2e^x(e^x+1)>0$ si ottiene $\forall x \in \mathcal{D}$
- studiando il denominatore $(e^x-1)^3>0$ si ottiene $x>0$
Compilando la tabella dei segni si ottiene che:
Otteniamo che:
- $f^{”}(x)<0$ se $x<0$ quindi $f(x)$ è concava
- $f^{”}(x)>0$ se $x>0$ quindi $f(x)$ è convessa
Il punto $x=0$ non è punto di flesso perché non fa parte del dominio di $f(x)$.
Concludiamo con un disegno “a mano”:
e poi con un disegno più accurato utilizzando un programma, per convalidare quanto trovato:
