Problema
Dopo aver trovato i valori di $k$ affinché l’equazione
$\dfrac{x^2}{4k+4}+\dfrac{y^2}{3+k}=1$
rappresenti un’ellisse, determina quello corrispondente all’ellisse passante per il punto $(2,\sqrt{2})$.
Svolgimento
L’equazione che ci viene fornita è già nella forma canonica
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
dove nel nostro caso abbiamo $a^2=4k+4$ e $b^2=3+k$.
Affinché l’equazione si quella di una ellisse i due coefficienti devono essere strettamente maggiori di zero, cioè dobbiamo trovare quali valori di $k$ li rendono entrambi positivi. Otteniamo quindi due condizioni che sono:
$a^2>0$ cioè $4k+4>0$
$b^2>0$ cioè $3+k>0$
Dovendo essere soddisfatte entrambe le mettiamo a sistema:
\[\begin{cases}4k+4>0 \\ 3+k>0 \end{cases}\]
e risolvendo le disequazioni otteniamo:
\[\begin{cases}k>-1 \\ k>-3 \end{cases}\]
Per trovare la soluzione finale del sistema ci aiutiamo con una tabella delle intersezioni:
Quindi la soluzione del sistema è
$k>-1$
Allora per $k>-1$ entrambi i denominatori dell’equazione sono maggiori di zero, cioè per $k>-1$ l’equazione rappresenta una ellisse.
Cerchiamo ora il valore di $k$ per il quale l’ellisse passa per il punto $(2,\sqrt{2})$. Per farlo sostituiamo al posto di $x$ e $y$ le rispettive coordinate del punto ottenendo:
$\dfrac{2^2}{4k+4}+\dfrac{\sqrt{2}^2}{3+k}=1$
che è un’equazione con incognita $k$. Risolviamola:
$\dfrac{4}{4k+4}+\dfrac{2}{3+k}=1$
mettiamo a denominatore comune i termini di sinistra
$\dfrac{4(3+k)+2(4k+4)}{(4k+4)(3+k)}=1$
moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore e otteniamo:
$4(3+k)+2(4k+4)=(4k+4)(3+k)$
che è un’equazione intera di secondo grado, infatti svolgendo le moltiplicazioni otteniamo l’equazione:
$12+4k+8k+8=12k+4k^2+12+4k$
cioè
$4k^2+4k-8=0$
Questa equazione di secondo grado la risolviamo con la classica formula. Calcoliamo prima il delta:
$\Delta=4^2-4\cdot 4\cdot (-8)=144$
e quindi:
$k_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4\pm \sqrt{144}}{8}=\dfrac{-4\pm 12}{8}$
cioè le due soluzioni sono $k=-2$ e $k=1$.
Tuttavia dobbiamo vedere se per tali valori di $k$ l’equazione è quella di una ellisse. La condizione da rispettare affinché sia una ellisse l’abbiamo trovata prima ed è $k>-1$. Allora possiamo concludere che la soluzione $k=-2$ non è accettabile. Quindi l’unico valore di $k$ per il quale l’ellisse passa per il punto $(2,\sqrt{2})$ è:
$k=1$