Problema
Data l’equazione $(3k-1)x^2+(k+5)y^2=3k^2+14k-5$ determina per quali valori di $k$ l’equazione rappresenta una ellisse con i fuochi sull’asse $x$.
Svolgimento
Notiamo che l’equazione fornita non è scritta in forma canonica, cioè come:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
infatti come membro di destra abbiamo il trinomio $3k^2+14k-5$ invece di $1$. Con dei passaggi algebrici cerchiamo di scrivere in forma canonica l’equazione. Come prima cosa scomponiamo il trinomio con la tecnica della somma e del prodotto.
Cerchiamo quindi due numeri che hanno somma $s=+14$ e prodotto $p=3\cdot (-5)=-15$.
I due numeri sono $15$ e $-1$. Quindi l’equazione diventa:
$(3k-1)x^2+(k+5)y^2=3k^2+15k-1k-5$
e con dei raccoglimenti parziali otteniamo
$(3k-1)x^2+(k+5)y^2=3k(k+5)-1(k+5)$
$(3k-1)x^2+(k+5)y^2=(3k-1)(k+5)$
Ora per ottenere $1$ a destra dell’uguale dividiamo ambo i membri per $(3k-1)(k+5)$, ricordando che per fare questa divisione dobbiamo avere che $k\ne -5$ e $k\ne \dfrac{1}{3}$ altrimenti staremmo dividendo per zero. Quello che si ottiene è la seguente equazione:
$\dfrac{(3k-1)x^2+(k+5)y^2}{(3k-1)(k+5)}=1$
che semplificando diventa:
$\dfrac{x^2}{k+5}+\dfrac{y^2}{3k-1}=1$
Ora l’equazione è scritta in forma canonica, dove $a^2=k+5$ e $b^2=3k-1$.
Questi due coefficienti devono essere strettamente maggiori di zero, quindi affinché l’equazione sia quella di una ellisse devono essere soddisfatte le seguenti condizioni sui coefficienti:
\[\begin{cases}k+5>0 \\ 3k-1>0 \end{cases}\]
A questo sistema aggiungiamo la condizione riguardante i fuochi sull’asse $x$. Ricordiamo che affinché i fuochi siano sull’asse $x$ si deve avere che:
$a^2>b^2$
cioè
$k+5>3k-1$
Quindi il sistema da risolvere diventa:
\[\begin{cases}k+5>0 \\ 3k-1>0 \\ k+5>3k-1 \end{cases}\]
e risolvendo ciascuna disequazione otteniamo le soluzione:
\[\begin{cases}k>-5 \\ k>\dfrac{1}{3} \\ k<3 \end{cases}\]
La soluzione è data dall’intersezione di queste tre soluzioni, per aiutarci facciamo un grafico delle intersezioni:

Quindi possiamo concludere che i valori di $k$ per i quali l’equazione rappresenta una ellisse con fuochi sull’asse $x$ sono:
$\dfrac{1}{3}<k<3$