Problema
Data l’equazione $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{10-k}=1$ stabilisci:
- per quali valori di $k$ l’equazione rappresenta una ellisse? E per quali una circonferenza?
- per quali valori di $k$ i fuochi sono sull’asse $y$?
- per quali valori di $k$ un fuoco ha coordinate $(-1,0)$?
Svolgimento
Dobbiamo determinare il valore del parametro $k$ presente nell’equazione dell’ellisse a seconda della condizione che ci viene data.
- per quali valori di $k$ l’equazione rappresenta una ellisse? E per quali una circonferenza?
Ricordiamo che l’equazione generica di una ellisse centrata nell’origine è:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
dove $a^2$ e $b^2$ sono dei coefficienti che devono essere strettamente maggiori di zero.
Nell’equazione che ci viene fornita abbiamo che:
$a^2=4$
$b^2=10-k$
Il primo è chiaramente un coefficiente maggiore di zero, il secondo dipende dal valore di $k$. Quindi affinché l’equazione rappresenti una ellisse si deve avere che:
$10-k>0$
da cui otteniamo la soluzione
$k<10$
Cioè per valori di $k$ minori di dieci l’equazione rappresenta un’ellisse.
Invece affinché l’equazione rappresenti una circonferenza si deve che $a^2=b^2$, quindi:
$4=10-k$
da cui si ottiene che per $k=6$ l’equazione è quella di una circonferenza.
- per quali valori di $k$ i fuochi sono sull’asse $y$?
Per avere i fuochi dell’ellisse sull’asse $y$ bisogna che $b^2>a^2$, cioè dobbiamo risolvere la disequazione:
$10-k>4$
che ha soluzione
$k<6$
quindi per $k<6$ l’ellisse ha i fuochi lungo l’asse $y$ (ellisse verticale).
- per quali valori di $k$ un fuoco ha coordinate $(-1,0)$?
Se un fuoco ha coordinate $(-1,0)$ allora si tratta sicuramente di una ellisse orizzontale perché il fuoco giace lungo l’asse $x$. In particolare le coordinate sono del fuoco di ascissa negativa, che ha formula:
$F_1=(-c,0)$
Quindi confrontando le coordinate possiamo dedurre che $c=1$. Dobbiamo quindi trovare i valori di $k$ che permettono di avere $c=1$.
Dalle formule viste nella lezione di teoria sappiamo che per l’ellisse orizzontale:
$c=\sqrt{a^2-b^2}$
quindi nel nostro caso:
$1=\sqrt{4-(10-k)}$
elevando al quadrato ambo i membri si ottiene
$1=4-10+k$
che ha soluzione
$k=7$
Quindi se $k=7$ allora $c=1$ e quindi il fuoco di ascissa negativa sarà in $(-1,0)$.