Problema
Determina se le seguenti equazioni rappresentano delle ellissi e in caso affermativo scrivile in forma normale:
- $\dfrac{x^2}{4}+2y^2=4$
- $2x^2-\sqrt{3}=\sqrt{3}y^2$
- $5x^2+12y^2-3=0$
- $7x^2+2y^4-5=0$
- $x^2+3y^2=-1$
Svolgimento
Lo scopo è scrivere in forma canonica le equazioni proposte, cioè con un’equazione del tipo:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
Consideriamo e analizziamo una alla volta le equazioni proposte:
- $\dfrac{x^2}{4}+2y^2=4$
L’equazione potrebbe essere quella di una ellisse, per essere sicuri proviamo a scriverla in forma canonica andando a dividere entrambi i membri per $4$:
$\dfrac{\dfrac{x^2}{4}+2y^2}{4}=\dfrac{4}{4}$
da cui semplificando otteniamo:
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{2}=1$
che è l’equazione forma canonica di un’ellisse con $a^2=16$ e $b^2=2$. Quindi possiamo concludere che l’equazione di partenza è quella di un’ellisse.
- $2x^2-\sqrt{3}=\sqrt{3}y^2$
Proviamo a scrivere l’equazione in forma canonica, portando a destra il termina senza lettere e a sinistra quello con $y^2$, ottenendo:
$2x^2-\sqrt{3}y^2=\sqrt{3}$
notiamo che i segni davanti a $x^2$ e a $y^2$ sono discordi, quindi possiamo concludere subito che l’equazione non rappresenta un’ellisse (che ha sempre segni concordi).
- $5x^2+12y^2-3=0$
Portiamo a destra il termine noto ottenendo:
$5x^2+12y^2=3$
Cerchiamo di scrivere l’equazione in forma canonica dividendo entrambi i membri per $3$:
$\dfrac{5x^2+12y^2}{3}=\dfrac{3}{3}$
e semplificando otteniamo
$\dfrac{5x^2}{3}+4y^2=1$
da cui sistemando i termini otteniamo:
$\dfrac{x^2}{\dfrac{3}{5}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{4}}=1$
che è proprio l’equazione di un’ellisse in forma canonica con $a^2=\dfrac{3}{5}$ e $b^2=\dfrac{1}{4}$. Quindi concludiamo che l’equazione iniziale rappresenta un’ellisse.
- $7x^2+2y^4-5=0$
In questo caso notiamo subito che l’equazione contiene un termine $y^4$, pertanto possiamo già concludere che non rappresenta un’ellisse.
- $x^2+3y^2=-1$
Questa equazione non rappresenta un’ellisse, in quanto il termine noto a destra non può essere negativo.
Infatti il membro di sinistra per qualsiasi valore di $x$ e $y$ ha un valore positivo, pertanto non sarà mai uguale a $-1$.