Problema
Considera l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1$, descrivine le caratteristiche principali analizzando l’equazione. Determina poi le coordinate del centro, dei fuochi e dei vertici.
Svolgimento
L’ellisse che dobbiamo analizzare è già in forma canonica, cioè del tipo:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
e come visto nella lezione di teoria, questa equazione rappresenta sempre un’ellisse centrata nell’origine. Quindi possiamo già dire che il centro $C$ dell’ellisse ha coordinate:
$C=(0,0)$
Poi confrontando l’equazione dell’esercizio con quella generale vediamo che:
$a^2=9$
$b^2=25$
$a$ e $b$ devono essere coefficienti positivi, quindi otteniamo che $a=3$ e $b=5$. Quindi $a$ è detto semiasse minore mentre $b$ semiasse maggiore.
Inoltre da questo deduciamo che siccome $b>a$ l’ellisse è verticale, cioè ha i due fuochi lungo l’asse delle $y$.
Possiamo ora calcolarci il coefficiente $c$ detto semidistanza focale e l’eccentricità $e$ con le seguenti formule (valide solo per ellissi verticali):
$c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
$e=\dfrac{c}{b}=\dfrac{4}{5}$
Ora calcoliamo le coordinate di fuochi e vertici con le formule viste nella lezione di teoria, che nel caso di ellisse verticale sono:
Fuochi
$F_1=(0,-c)=(0,-4)$
$F_2=(0,c)=(0,4)$
Vertici
$V_1=(a,0)=(3,0)$
$V_2=(0,b)=(0,5)$
$V_3=(-a,0)=(-3,0)$
$V_4=(0,-b)=(0,-5)$
Concludiamo con un disegno dell’ellisse, il modo migliore è quello di fissare i quattro vertici e collegarli con una linea curva. Il risultato è il seguente:
