Problema
Determina per quali valori di $k$ l’equazione $x^2+2y^2+3x-y-2k=0$ rappresenta un’ellisse non degenere.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio scriviamo in forma canonica l’equazione dell’ellisse traslata usando il metodo del completamento dei quadrati.
Raggruppiamo i termini con la lettera $x$ e con la lettera $y$ nel seguente modo:
$1(x^2+3x)+2\left(y^2-\dfrac{1}{2}x\right)-2k=0$
A questo punto dobbiamo completare i quadrati di binomio dentro le parentesi aggiungendo il termine mancante. Nel caso della parentesi con le $x$ aggiungiamo $\dfrac{9}{4}$ che bilanciamo con un $-1\cdot\dfrac{9}{4}$ fuori dalle parentesi. Invece nella parentesi con $y$ aggiungiamo $\dfrac{1}{16}$ che bilanciamo con un $-2\cdot \dfrac{1}{16}$ fuori dalle parentesi. Otteniamo quindi:
$\left(x^2+3x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{9}{4}+2\left(y^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{1}{8}-2k=0$
Ora possiamo sistemare i vari termini nel seguente modo:
$\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+2\left(y-\dfrac{1}{4}\right)^2=2k+\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{8}$
Allora affinché l’ellisse non sia degenere il membro di destra deve essere strettamente positivo, cioè:
$2k+\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{8}>0$
$2k>-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{8}$
$2k>-\dfrac{19}{8}$
$k>-\dfrac{19}{16}$
Quindi l’ellisse è non degenere se $k>-\dfrac{19}{16}$.