Problema
Trova l’equazione dell’ellisse con i fuochi $F_1(0,-1)$ e $F_2(2,-1)$ e semiasse maggiore di lunghezza $a=\sqrt{15}$.
Svolgimento
Osservando le coordinate dei fuochi capiamo che l’ellisse è sicuramente traslata, altrimenti le coordinate $x$ o $y$ di entrambi i fuochi sarebbero state $0$. Inoltre notiamo che entrambi i fuochi hanno la stessa coordinata $y$ cioè $-1$, pertanto possiamo capire che l’ellisse è orizzontale.
Fatte queste osservazioni iniziali dobbiamo determinare l’equazione di questa ellisse traslata orizzontale, la cui forma generale è:
$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$
quindi per determinare la nostra equazione è necessario trovare $x_C$, $y_C$, $a$ e $b$.
Procediamo gradualmente partendo da $x_C$ e $y_C$ che sono le coordinate $x$ e $y$ del centro dell’ellisse traslata.
Sappiamo che nelle ellissi il centro sta esattamente a metà tra i fuochi, quindi per trovare le coordinate del centro usiamo le formule del punto medio di un segmento. Quindi otteniamo che le coordinate del centro dell’ellisse sono
$x_C=\dfrac{x_{F_1}+x_{F_2}}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1$
$y_C=\dfrac{y_{F_1}+y_{F_2}}{2}=\dfrac{-1-1}{2}=-1$
Chiaramente essendo l’ellisse orizzontale il centro ha la stessa coordinata $y$ dei fuochi.
Il prossimo passo è determinare il coefficiente $c$, che sappiamo essere la distanza tra il centro e uno dei due fuochi. Essendo la coordinata $y$ identica, per trovare la distanza ci basta considerare le coordinate $x$ del centro e del fuoco $F_2$, il coefficiente $c$ sarà semplicemente:
$c=x_{F_2}-x_C=2-1=1$
L’esercizio ci fornisce già il coefficiente $a=\sqrt{15}$, per trovare il coefficiente $b$ possiamo allora usare la formula:
$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{15-1}=\sqrt{14}$
Quindi riassumendo, abbiamo trovato che i coefficienti sono:
$x_C=1$
$y_C=-1$
$a=\sqrt{15}$
$b=\sqrt{14}$
Allora inserendo questi valori nell’equazione generale visto all’inizio, otteniamo che l’equazione di questa ellisse traslata è:
$\dfrac{(x-1)^2}{15}+\dfrac{(y+1)^2}{14}=1$