ELLISSE TRASLATA – ESERCIZIO 5

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Problema

Data l’ellisse di equazione $x^2+9y^2+8x-18y+9=0$, scrivi l’equazione in forma canonica e determina fuochi, vertici, centro ed eccentricità.

Svolgimento

L’equazione fornita è quella di una ellisse traslata ma in forma non canonica. Riscriviamola in forma canonica con il metodo del completamento dei quadrati.

Raggruppiamo i termini con $x$ e quelli con $y$ nel seguente modo:

$(x^2+8x)+9(y^2-2y)+9=0$

Ora dobbiamo completare i quadrati di binomio dentro le parentesi aggiungendo il termine mancante. Nel caso della parentesi con $x$ aggiungiamo $+16$ che dobbiamo bilanciare con un $-1\cdot 16$ fuori dalle parentesi. Nella parentesi delle $y$ aggiungiamo un $+1$ e bilanciamo con un $-9\cdot 1$ fuori dalle parentesi. Il risultato che otteniamo è il seguente:

$(x^2+8x+16)-16+9(y^2-2y+1)-9+9=0$

Sistemiamo i termini e otteniamo:

$(x+4)^2+9(y-1)^2=16$

Dividiamo tutti i termini per $16$

$\dfrac{(x+4)^2}{16}+\dfrac{9(y-1)^2}{16}=1$

Da cui possiamo concludere che l’equazione scritta in forma canonica è:

$\dfrac{(x+4)^2}{16}+\dfrac{(y-1)^2}{\dfrac{16}{9}}=1$

Analizzando l’equazione canonica otteniamo che:

$x_C=-4$

$y_C=1$

$a=4$

$b=\dfrac{4}{3}$

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-\dfrac{16}{9}}=\sqrt{\dfrac{128}{9}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{9}$

Siccome $a>b$ possiamo concludere che l’ellisse è orizzontale. Allora per trovare le varie richieste del problema usiamo le formula per l’ellisse orizzontale traslata viste in questa lezione:

  • Centro

$C=(x_C,y_C)=(-4,1)$

  • Fuochi

$F_1=(-c+x_C,y_C)=\left(-\dfrac{8\sqrt{2}}{9}-4,1\right)$

$F_2=(c+x_C,y_C)=\left(\dfrac{8\sqrt{2}}{9}-4,1\right)$

  • Vertici

$V_1=(a+x_C,y_C)=(0,1)$

$V_2=(x_C,b+y_C)=\left(-4,\dfrac{7}{3}\right)$

$V_3=(-a+x_C,y_C)=(-8,1)$

$V_4=(x_C,-b+y_C)=\left(-4,-\dfrac{1}{3}\right)$

  • Eccentricità

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\dfrac{8\sqrt{2}}{9}}{4}=\dfrac{2\sqrt{2}}{9}$