Problema
Data l’ellisse di equazione $4x^2+y^2+8x=0$, scrivi l’equazione in forma canonica e determina fuochi, vertici, centro ed eccentricità.
Svolgimento
L’esercizio ci fornisce l’equazione di una ellisse traslata in forma non canonica, la prima cosa da fare è scriverla in forma canonica con il metodo del completamento dei quadrati.
Riscriviamo l’equazione raggruppando i termini con la $x$ nel seguente modo:
$4(x^2+2x)+y^2=0$
Ora dobbiamo completare il quadrato di binomio nelle parentesi tonde aggiungendo un $+1$ che dobbiamo però bilanciare con un $-4\cdot 1$ fuori dalle parentesi. Otteniamo quindi:
$4(x^2+2x+1)-4+y^2=0$
e sistemando i vari termini si ottiene:
$4(x+1)^2+y^2=4$
Dividendo sia a destra che a sinistra per $4$ otteniamo l’equazione dell’ellisse traslata in forma canonica:
$\dfrac{(x+1)^2}{1}+\dfrac{y^2}{4}=1$
Analizzando l’equazione canonica otteniamo che:
$x_C=-1$
$y_C=0$
$a=1$
$b=2$
$c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
Notiamo che siccome $b>a$ allora l’ellisse è verticale. Per trovare trovare centro, fuochi, vertici ed eccentricità utilizziamo le seguenti formule viste nella lezione sull’ellisse traslata:
- Centro
$C=(x_C,y_C)=(-1,0)$
- Fuochi
$F_1=(x_C,-c+y_C)=(-1,-\sqrt{3})$
$F_2=(x_C,c+y_C)=(-1,\sqrt{3})$
- Vertici
$V_1=(a+x_C,y_C)=(0,0)$
$V_2=(x_C,b+y_C)=(-1,2)$
$V_3=(-a+x_C,y_C)=(-2,0)$
$V_4=(x_C,-b+y_C)=(-1,-2)$
- Eccentricità
$e=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$