Problema
Trova l’equazione dell’ellisse traslata che si ottiene traslando l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$ in modo tale che il fuoco di ordinata negativa venga traslato nel punto $F'(3,0)$.
Svolgimento
Per determinare l’equazione dell’ellisse traslata ci serve il vettore traslazione $\vec{v}(x_C,y_C)$, quindi come prima cosa andiamo a calcolare quali sono le componenti $x$ e $y$ di questo vettore.
Iniziamo andando a calcolare le coordinate del fuoco di ordinata negativa dell’ellisse centrata nell’origine, ossia prima della traslazione. Dall’equazione capiamo che questa ellisse è verticale perché $b>a$, infatti $a=4$ e $b=5$. Allora possiamo calcolare il coefficiente $c$ come:
$c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
Il fuoco di ordinata negativa dell’ellisse verticale centrate nell’origine ha coordinate:
$F_1=(0,-c)=(0,-3)$
Questo fuoco $F_1(0,-3)$ effettuando la traslazione deve finire nel punto $F'(3,0)$, quindi osservando le coordinate possiamo capire quali sono le componenti del vettore traslazione.
Prendiamo le coordinate $x$, la coordinata del fuoco deve passare da $0$ a $3$, quindi la componente $x$ del vettore traslazione è $x_C=3$.
Se osserviamo invece le coordinate $y$, il fuoco passa da $-3$ e $0$, quindi la componente $y$ del vettore traslazione è $y_C=3$.
Quindi il vettore traslazione è $\vec{v}=(x_C,y_C)=(3,3)$.
Ora per determinare l’equazione dell’ellisse traslata secondo tale vettore $\vec{v}$ basta ricordare che l’equazione deve essere del tipo:
$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$
Quindi possiamo concludere che nel nostro caso l’equazione dell’ellisse traslata secondo il vettore $\vec{v}=(3,3)$ sarà:
$\dfrac{(x-3)^2}{16}+\dfrac{(y-3)^2}{25}=1$