Problema
Determina le coordinate del vettore traslazione $\vec{v}$ che trasla il fuoco di ascissa negativa dell’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ nel fuoco di coordinate $F’_1(4,3)$.
Svolgimento
L’esercizio ci chiede di trovare le coordinate del vettore di traslazione $\vec{v}(x_C,y_C)$. Per farlo dobbiamo sfruttare le due informazioni che ci vengono fornite, cioè che l’ellisse centrata nell’origine (cioè NON ancora traslata) ha equazione $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ e che dopo la sua traslazione secondo il vettore $\vec{v}$ il suo fuoco di ascissa negativa (cioè quello di sinistra) viene traslato nel punto $F’_1(4,3)$.
Come prima cosa calcoliamo qual è la posizione del fuoco $F_1$ prima della traslazione. Dall’equazione dell’ellisse vediamo che siccome $a>b$ allora l’ellisse è orizzontale, infatti $a=5$ e $b=4$. Calcoliamo il coefficiente $c$ con la formula:
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
Allora possiamo trovare il fuoco con ascissa negativa dell’ellisse centrata nell’origine con la formula:
$F_1=(-c,0)=(-3,0)$
Quindi il fuoco $F_1(-3,0)$ in seguito alla traslazione viene spostato in $F’_1(4,3)$.
Per dobbiamo trovare le coordinate del vettore $\vec{v}(x_C,y_C)$ che genera la traslazione.
Osserviamo le coordinate $x$ dei due fuochi, per passare dalla coordinata $-3$ alla coordinata $4$ dobbiamo sommare $7$. Quindi $x_C=7$.
Mentre osservando le componenti $y$ dei due fuochi notiamo che per passare da $0$ a $3$ dobbiamo sommare $3$. Quindi $y_C=3$.
Allora possiamo concludere che il vettore traslazione $\vec{v}$ che genera la traslazione ha componenti:
$\vec{v}=(7,3)$