Problema
Determina l’equazione dell’ellisse traslata che si ottiene applicando il vettore traslazione $\vec{v}(-3,5)$ all’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$. Trova poi le coordinate del centro e dei fuochi, infine disegna l’ellisse.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio ricordiamo che se applichiamo un vettore di traslazione $\vec{v}(x_C,y_C)$ ad una ellisse centrata nell’origine otteniamo una ellisse traslata di equazione:
$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$
Nel nostro caso i vettore traslazione è $\vec{v}(-3,5)$ (cioè abbiamo che $x_C=-3$ e $y_C=5$) e sappiamo che dobbiamo applicarlo all’ellisse centrata nell’origine di equazione $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$. Quindi il risultato della traslazione sarà un’ellisse traslata di equazione:
$\dfrac{(x+3)^2}{9}+\dfrac{(y-5)^2}{4}=1$
Dobbiamo ora trovare alcune caratteristiche di questa ellisse traslata.
La cosa più facile da determinare sono le coordinate del centro, infatti sappiamo che corrispondono a quelle del vettore traslazione, quindi possiamo concludere che le coordinate del centro dell’ellisse traslata sono:
$C=(x_C,y_C)=(-3,5)$
Troviamo ora le coordinate dei fuochi. La nostra ellisse traslata è orizzontale perché $a>b$, infatti dalla sua equazione sappiamo che $a=3$ e $b=2$. Calcoliamo il coefficiente $c$ con la formula:
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
Allora i due fuochi di questa ellisse traslata orizzontale si trovano dalle seguenti formule:
$F_1=(-c+x_C,y_C)=(-\sqrt{5}-3,5)$
$F_2=(c+x_C,y_C)=(\sqrt{5}-3,5)$
Infine ci viene chiesto di disegnare l’ellisse traslata. Per farlo è sufficiente fissare il centro $C=(-3,5)$ e segnare i quattro vertici. Per ottenere due vertici basta spostarsi in verticale (sia sopra che sotto il centro) di $b=2$ mentre per gli altri due occorre spostarsi in orizzontale (sia a sinistra che a destra del centro) di $a=3$. Il risultato è il seguente:
