Problema
Determina con il metodo algebrico se la retta $y=4x-1$ è secante, tangente o esterna alla parabola $y=2x^2+1$, trovando gli eventuali punti di intersezione.
Svolgimento
Il metodo algebrico permette di determinare la posizione di una retta rispetto ad una parabola, in particolare permette di determinare con assoluta precisione le coordinate degli eventuali punti di intersezione.
Per applicarlo si parte mettendo a sistema l’equazione della parabola con quella della retta, nel seguente modo:
\[\begin{cases} y=2x^2+1 \\ y=4x-1 \end{cases}\]
Risolvendo questo sistema otterremo le coordinate dei punti di intersezione (se ci sono). Il modo più conveniente è procedere con il metodo del confronto perché in entrambe le equazioni abbiamo già la $y$ isolata. Quindi non resta che eguagliare i membri di destra di entrambe le equazioni, ottenendo l’equazione di secondo grado:
$2x^2+1=4x-1$
che sistemando i termini diventa:
$2x^2-4x+2=0$
Ora non resta che risolverla con la solita procedura, calcoliamo prima il delta $\Delta$:
$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 2=16-16=0$
Siccome $\Delta=0$ sappiamo che l’equazione avrà una sola soluzione, pertanto ci aspettiamo un solo punto di intersezione, quindi la retta è tangente alla parabola.
Per determinare le coordinate del punto di intersezione proseguiamo con la risoluzione del sistema. Risolvendo l’equazione di secondo grado troviamo la coordinata $x$ del punto di intersezione:
$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{+4\pm \sqrt{0}}{4}=1$
Quindi il punto di intersezione ha come ascissa $x=1$.
Per trovare la coordinata $y$ del punto di intersezione andiamo semplicemente a sostituire $x=1$ nell’equazione della retta (o della parabola):
$y=4\cdot 1-1=3$
Quindi possiamo concludere che il punto di intersezione in cui la retta è tangente alla parabola è $(1,3)$.
Per completezza diamo una rappresentazione grafica della retta tangente alla parabola:
