Problema
Utilizza il metodo grafico per capire se la retta di equazione $y=2x+3$ è secante, tangente o esterna alla parabola di equazione $y=3x^2+x+1$.
Svolgimento
Il metodo grafico consiste nel disegnare la retta e la parabola nel piano cartesiano e vedere se, e in quanti punti, i loro grafici si intersecano.
Per disegnarle optiamo per il classico metodo della tabella $xy$.
Partiamo dalla parabola di equazione $y=3x^2+x+1$ e calcoliamo le coordinate del vertice $V$:
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)=\left(-\dfrac{1}{2\cdot 3},-\dfrac{1^2-4\cdot 3\cdot 1}{4\cdot 3}\right)=\left(-\dfrac{1}{6},\dfrac{11}{12}\right)$
Ora sono necessari almeno altri due punti della parabola per poterla disegnare, ad esempio se inseriamo $x=1$ nell’equazione della parabola otteniamo:
$y=3\cdot 1^2+1+1=5$
Quindi un punto della parabola ha coordinate $(1,5)$.
Facciamo la stessa cosa ponendo $x=-1$:
$y=3\cdot (-1)^2-1+1=3$
Cioè un altro punto della parabola è $(-1,3)$.
Riassumiamo il tutto in una tabella $xy$:
| $\Large x$ | $\Large y$ | $\Large {(x,y)}$ |
| $1$ | $5$ | $(1,5)$ |
| $-1$ | $3$ | $(-1,3)$ |
Inserendo nel piano cartesiano il vertice e i due punti appena trovati e unendoli si ottiene la seguente parabola:
Ora proseguiamo andando a disegnare la retta sempre sullo stesso piano cartesiano della parabola. Anche nel caso della retta si sfrutta la sua equazione per determinare due punti che le appartengono.
L’equazione della retta è $y=2x+3$, se inseriamo il valore $x=1$ otteniamo:
$y=2\cdot 1+3=5$
cioè la retta passa per il punto $(1,5)$, come la parabola.
Se inseriamo $x=0$ otteniamo:
$y=2\cdot 0+3=3$
quindi la retta passa per il punto $(0,3)$.
Quindi nel caso della retta la tabella $xy$ è:
| $\Large x$ | $\Large y$ | $\Large {(x,y)}$ |
| $1$ | $5$ | $(1,5)$ |
| $0$ | $3$ | $(0,3)$ |
Fissiamo nel piano cartesiano anche questi due punti (il primo è già fissato dalla parabola) e li colleghiamo con una retta. Il disegno finale è il seguente:
Come vediamo dal disegno la retta e la parabola si intersecano in due punti distinti, un punto di intersezione per puro caso lo conosciamo (1,5) l’altro punto invece ha coordinate incognite e dal disegno non possiamo calcolarle con precisione. Per conoscere con precisione i punti di intersezione è necessario usare il metodo algebrico.
Possiamo comunque concludere che la retta è secante alla parabola perché dal disegno si vede chiaramente che ci sono due punti di intersezione.