Problema
Determina per quali valori di $k$ la retta di equazione $y=2x+k$ è tangente all’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{4}=1$.
Svolgimento
Per calcolare il valore di $k$ per il quale la retta è tangente all’ellisse mettiamo a sistema le due equazioni:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{4}=1 \\ y=2x+k\end{cases}\]
risolviamo il sistema per sostituzione, inserendo la seconda equazione nella prima:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(2x+k)^2}{4}=1 \\ y=2x+k\end{cases}\]
per semplicità risolviamo a parte la prima equazione:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{4x^2}{4}+\dfrac{4kx}{4}+\dfrac{k^2}{4} =1$
L’equazione è di secondo grado (di incognita $x$), con semplici calcoli possiamo scriverla in forma normale come:
$\dfrac{3}{2}x^2+kx+\dfrac{k^2}{4}-1=0$
Calcoliamo il delta di questa equazione, chiaramente non sarà un numero ma dipenderà dal parametro $k$:
$\Delta=k^2-4\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \left(\dfrac{k^2}{4}-1\right)=-\dfrac{1}{2}k^2+6$
Ora per determinare il valore di $k$ utilizziamo la condizione di tangenza, cioè affinché la retta sia tangente all’ellisse bisogna avere che $\Delta=0$.
Quindi nel nostro caso questa condizione si traduce nella seguente equazione:
$-\dfrac{1}{2}k^2+6=0$
$k^2=12$
da cui otteniamo che:
$k=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$
Ci sono quindi due valori di $k$ che rendono la retta tangente all’ellisse e sono:
$k=2\sqrt{3}$
$k=-2\sqrt{3}$
che corrispondono a due rette tangenti di equazioni:
$y=2x+2\sqrt{3}$
$y=2x-2\sqrt{3}$
La rappresentazione grafica è la seguente: