Problema
Determina l’equazione delle rette parallele all’asse $x$ che intersecandosi con l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{12}=1$ generano una corda di lunghezza $\sqrt{2}$.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio dobbiamo ricordare che le rette parallele all’asse $x$ hanno un’equazione del tipo $y=k$, cioè non compare la variabile $x$ e dove $k$ è un numero reale qualsiasi.
Quindi consideriamo l’equazione generica di una retta parallela all’asse $x$:
$y=k$
il nostro scopo è trovare il valore di $k$ che rappresenta una retta che intersecata con l’ellisse genera una corda di lunghezza $\sqrt{2}$. Detto in altre parole la distanza tra i punti di intersezione tra la retta e l’ellisse è $\sqrt{2}$.
Procediamo per step, iniziamo mettendo a sistema l’equazione dell’ellisse con quella della retta generica:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{12}=1 \\ y=k \end{cases}\]
Risolviamo il sistema per sostituzione:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{k^2}{12}=1 \\ y=k \end{cases}\]
prendiamo la prima equazione e risolviamola a parte, l’incognita è chiaramente la $x$ mentre $k$ sarà un parametro:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{k^2}{12}=1$
$\dfrac{x^2}{2}=1-\dfrac{k^2}{12}$
questa equazione è risolvibile senza l’utilizzo della classica formula. Otteniamo che le due soluzioni sono:
$x=\pm \sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}}$
Quindi i punti di intersezione tra la retta e l’ellisse hanno coordinate:
$P_1=\left(\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}},k\right)$
$P_2=\left(-\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}},k\right)$
queste coordinate dipendono dal parametro $k$, per determinare il valore di $k$ sfruttiamo il fatto che la corda che si genera tra $P_1$ e $P_2$ deve essere lunga $\sqrt{2}$. Usiamo quindi la formula della distanza tra punti:
$d=\sqrt{(x_{P_1}-x_{P_2})^2+(y_{P_1}-y_{P_2})^2}$
$\sqrt{2}=\sqrt{\left(\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}}+\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}}\right)^2+(k-k)^2}$
$\sqrt{2}=\sqrt{\left(2\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}}\right)^2}$
$\sqrt{2}=2\sqrt{\dfrac{12-k^2}{6}}$
elevando tutto al quadrato otteniamo:
$2=4\cdot \dfrac{12-k^2}{6}$
con qualche calcolo si ottiene:
$k^2=9$
che ha per soluzione:
$k=\pm 3$
Quindi ci sono due valori del parametro $k$ che risolvono il problema ($k=3$ e $k=-3$).
Allora le due rette parallele all’asse $x$ che generano un corda lunga $\sqrt{2}$ intersecandosi l’ellisse hanno equazioni:
$y=3$
$y=-3$
Per completezza diamo una rappresentazione grafica, i segmenti color magenta sono le due corde lunghe $\sqrt{2}$:
