Problema
Data l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{4}=1$ determina se la retta $x-2y+10=0$ è esterna, tangente o secante. Trova poi gli eventuali punti di intersezione e rappresenta tutto graficamente.
Svolgimento
Mettiamo a sistema l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta, questo ci permetterà di capire se ci sono dei punti di intersezione.
\[\begin{cases} \dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{4}=1 \\ x-2y+10=0 \end{cases}\]
Per risolverlo scriviamo l’equazione della retta in forma esplicita e utilizziamo poi il metodo di sostituzione:
\[\begin{cases} \dfrac{x^2}{64}+\dfrac{\left(\dfrac{x}{2}+5\right)^2}{4}=1 \\ y=\dfrac{x}{2}+5 \end{cases}\]
Risolviamo a parte la prima equazione:
$\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{\dfrac{x^2}{4}+5x+25}{4}=1$
$\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{5x}{4}+\dfrac{25}{4}=1$
Sistemando i termini, si ottiene la seguente equazione di secondo grado:
$\dfrac{5}{64}x^2+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{21}{4}=0$
Calcoliamo il delta dell’equazione:
$\Delta=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2-4\cdot \dfrac{5}{64}\cdot \dfrac{21}{4}=\dfrac{25}{16}-\dfrac{105}{64}=-\dfrac{5}{64}$
Quindi siccome $\Delta<0$ allora non ci sono punti di intersezione tra la retta e l’ellisse, cioè la retta è esterna all’ellisse. Il sistema non ha soluzioni, quindi non serve proseguire oltre e non ci sarà alcun punto di intersezione da calcolare.
Concludiamo facendo un disegno della situazione:
