Problema
Data l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{9}=1$ determina se la retta $\sqrt{11}x-2y-6=0$ è esterna, tangente o secante. Trova poi gli eventuali punti di intersezione e rappresenta tutto graficamente.
Svolgimento
Per capire se ci sono punti di intersezione tra ellisse e retta mettiamo a sistema l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{9}=1 \\ \sqrt{11}x-2y-6=0 \end{cases}\]
scriviamo l’equazione della retta in forma esplicita e risolviamo il sistema per sostituzione:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{11}}{2}x-3\right)^2}{9}=1 \\ y=\dfrac{\sqrt{11}}{2}x-3 \end{cases}\]
Per semplicità risolviamo la prima equazione a parte:
$\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{\dfrac{11}{4}x^2-3\sqrt{11}x+9}{9}=1$
$\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{11}{36}x^2-\dfrac{\sqrt{11}}{3}x+1=1$
e con qualche calcolo otteniamo la seguente equazione di secondo grado:
$\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{\sqrt{11}}{3}x=0$
Calcoliamo il delta dell’equazione:
$\Delta=\left(-\dfrac{\sqrt{11}}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 0=\dfrac{11}{9}$
Quindi siccome $\Delta>0$ ci sono due punti di intersezione tra la retta e l’ellisse, cioè la retta è secante all’ellisse. Procediamo con la risoluzione dell’equazione di secondo grado, troveremo così le coordinate $x$ dei due punti di intersezione. Raccogliamo $\dfrac{1}{3}x$ nell’equazione:
$\dfrac{1}{3}x(x-\sqrt{11})=0$
Quindi otteniamo che le soluzioni sono:
$x_1=0$
$x_2=\sqrt{11}$
Quindi ritornando al sistema:
\[\begin{cases} x_1=0,x_2=\sqrt{11} \\ y=\dfrac{\sqrt{11}}{2}x-3 \end{cases}\]
E inserendo le due soluzioni nell’equazione della retta otteniamo le coordinate $y$ di ciascun punto di intersezione:
\[\begin{cases} x_1=0,x_2=\sqrt{11} \\ y_1=-3, y_2=\dfrac{5}{2} \end{cases}\]
Quindi possiamo concludere che i punti di intersezione tra le retta e l’ellisse sono:
$P_1=(0,-3)$
$P_2=\left(\sqrt{11},\dfrac{5}{2}\right)$
Rappresentiamo graficamente la situazione:
