Problema
Data l’ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1$ determina se la retta $y=4x+4\sqrt{5}$ è esterna, tangente o secante. Trova poi gli eventuali punti di intersezione e rappresenta tutto graficamente.
Svolgimento
Come visto nella lezione di teoria, capire graficamente qual è la posizione di una retta rispetto all’ellisse non è il modo migliore. Avendo le equazioni a disposizione possiamo procedere con il metodo algebrico, quindi mettiamo a sistema l’equazione dell’ellisse con quella della retta:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1 \\ y=4x+4\sqrt{5}\end{cases}\]
Risolvendo il sistema sarà possibile capire se la retta è esterna, tangente o secante. Procediamo risolvendo per sostituzione:
\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{(4x+4\sqrt{5})^2}{16}=1 \\ y=4x+4\sqrt{5}\end{cases}\]
Per semplicità risolviamo a parte la prima equazione:
$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{16x^2+32\sqrt{5}+80}{16}=1$
Sistemando i vari termini otteniamo l’equazione di secondo grado:
$\dfrac{5}{4}x^2+2\sqrt{5}x+4=0$
Calcoliamo il delta:
$\Delta=(2\sqrt{5})^2-4\cdot \dfrac{5}{4} \cdot 4=0$
Siccome $\Delta=0$ allora ci sarà un solo punto di intersezione tra retta ed ellisse, quindi la retta è tangente all’ellisse. Procedendo con la risoluzione dell’equazione di secondo grado troviamo la coordinata $x$ del punto di intersezione:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2\sqrt{5}}{\dfrac{5}{2}}=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
Quindi ritornando al sistema:
\[\begin{cases}x=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ y=4x+4\sqrt{5}\end{cases}\]
Troviamo la coordinata $y$ inserendo $x=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ nell’equazione della retta:
\[\begin{cases}x=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ y=4\cdot \left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right) +4\sqrt{5}\end{cases}\]
Cioè la soluzione del sistema è:
\[\begin{cases}x=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ y=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{cases}\]
Concludiamo che il punto di intersezione tra retta ed ellisse ha coordinate $P=\left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{5},\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)$.
Rappresentiamo graficamente la situazione:
