Problema
Data l’equazione $y=5x^2+kx+1$ determina il valore del parametro $k$ affinché l’equazione rappresenti una parabola con fuoco di ordinata $-\dfrac{1}{5}$.
Svolgimento
L’equazione
$y=5x^2+kx+1$
rappresenta un insieme di parabole che differiscono tra loro in base al valore del parametro $k$. Noi dobbiamo selezionare tra questo insieme di parabole quella con fuoco di ordinata $-\dfrac{1}{5}$ e determinare il corrispondente valore di $k$.
Data l’equazione di partenza osserviamo che i coefficienti sono:
$a=5$
$b=k$
$c=1$
Ora per selezionare la parabola, siccome ci viene fornita l’ordinata del fuoco, ricordiamo che la formula per l’ordinata è:
$\dfrac{1-\Delta}{4a}$
che in forma estesa diventa:
$\dfrac{1-(b^2-4ac)}{4a}$
Utilizziamo proprio quest’ultima formula inserendo i coefficienti e sapendo che deve dare come risultato $-\dfrac{1}{5}$:
$\dfrac{1-(k^2-4\cdot 5\cdot 1)}{4\cdot 5}=-\dfrac{1}{5}$
Questa è un’equazione da risolvere che ci darà il valore di $k$ che soddisfa la condizione di fuoco con ordinata $-\dfrac{1}{5}$. Risoviamola:
$\dfrac{1-(k^2-20)}{20}=-\dfrac{1}{5}$
$1-(k^2-20)=-4$
$-k^2+21=-4$
$k^2=25$
$k=\sqrt{25}=\pm 5$
Quindi concludiamo che ci sono due valori $k=-5$ e $k=+5$ che soddisfano la condizione del fuoco con ordinata $-\dfrac{1}{5}$ che corrispondono a due parabole di equazione:
$y=5x^2-5x+1$
$y=5x^2+5x+1$
Per completezza diamo una rappresentazione grafica delle due parabole e mostriamo che hanno il fuoco alla stessa “altezza”:
