Problema
Determina per quali valori del parametro $k$ l’equazione $y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$ non rappresenta una parabola. Poi determina per quali valori di $k$ rappresenta una parabola con concavità verso l’alto.
Svolgimento
L’equazione:
$y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$
rappresenta un insieme di parabole che dipendono dal valore del parametro $k$. L’esercizio ci chiede di trovare quali valori di $k$ non rappresentano una parabola.
Notiamo che nell’equazione fornita il parametro compare solo a denominatore, quindi i valori di $k$ che non rappresentano una parabola sono quelli che rendono $0$ il denominatore.
Cerchiamo quali valori annullano il denominatore risolvendo l’equazione:
$k^2-9=0$
$k^2=9$
$k=\sqrt{9}=\pm 3$
Pertanto se $k=\pm 3$ non otteniamo una parabola.
Quindi l’equazione $y=\dfrac{x^2}{a^2-9}$ rappresenta una parabola $\forall k\in \mathbb{R}-\{-3,+3\}$.
L’esercizio chiede poi di trovare per quali valori del parametro $k$ la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto.
Dalla teoria sappiamo che una parabola ha concavità verso l’alto se $a>0$. Nel caso dell’equazione $y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$ abbiamo che:
$a=\dfrac{1}{k^2-9}$
Quindi affinché la parabola abbia la concavità verso l’alto deve essere rispettata la condizione:
$\dfrac{1}{k^2-9}>0$
Risolviamo questa disequazione e troveremo i valori di $k$ che soddisfano la condizione di concavità verso l’alto.
La disequazione è fratta ma notiamo subito che il numeratore (che è $1$) è sempre positivo. Studiamo allora il denominatore che dipende da $k$. Risolviamo quindi:
$k^2-9>0$
che ha soluzione $k<-3 \vee k>3$
Pertanto possiamo concludere che se $k<-3 \vee k>3$ allora l’equazione rappresenta una parabola con concavità verso l’alto.