PARABOLA – ESERCIZIO 8

Problema

Determina per quali valori del parametro $k$ l’equazione $y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$ non rappresenta una parabola. Poi determina per quali valori di $k$ rappresenta una parabola con concavità verso l’alto.

Svolgimento

L’equazione:

$y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$

rappresenta un insieme di parabole che dipendono dal valore del parametro $k$. L’esercizio ci chiede di trovare quali valori di $k$ non rappresentano una parabola.

Notiamo che nell’equazione fornita il parametro compare solo a denominatore, quindi i valori di $k$ che non rappresentano una parabola sono quelli che rendono $0$ il denominatore.

Cerchiamo quali valori annullano il denominatore risolvendo l’equazione:

$k^2-9=0$

$k^2=9$

$k=\sqrt{9}=\pm 3$

Pertanto se $k=\pm 3$ non otteniamo una parabola.

Quindi l’equazione $y=\dfrac{x^2}{a^2-9}$ rappresenta una parabola $\forall k\in \mathbb{R}-\{-3,+3\}$.

L’esercizio chiede poi di trovare per quali valori del parametro $k$ la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto.

Dalla teoria sappiamo che una parabola ha concavità verso l’alto se $a>0$. Nel caso dell’equazione $y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$ abbiamo che:

$a=\dfrac{1}{k^2-9}$

Quindi affinché la parabola abbia la concavità verso l’alto deve essere rispettata la condizione:

$\dfrac{1}{k^2-9}>0$

Risolviamo questa disequazione e troveremo i valori di $k$ che soddisfano la condizione di concavità verso l’alto.

La disequazione è fratta ma notiamo subito che il numeratore (che è $1$) è sempre positivo. Studiamo allora il denominatore che dipende da $k$. Risolviamo quindi:

$k^2-9>0$

che ha soluzione $k<-3 \vee k>3$

Pertanto possiamo concludere che se $k<-3 \vee k>3$ allora l’equazione rappresenta una parabola con concavità verso l’alto.