Problema
Determina le caratteristiche (fuoco, vertice,…) della parabola di equazione $y^2-3y+2-x=0$ e rappresentala nel piano cartesiano.
Svolgimento
Come prima cosa notiamo che il quadrato (esponente) è sulla variabile $y$, questo ci suggerisce che l’equazione rappresenta una parabola con asse orizzontale. Scriviamo l’equazione in forma esplicita isolando la variabile $x$:
$x=y^2-3y+2$
grazie alla quale capiamo che i coefficienti sono $a=1$, $b=-3$ e $c=2$.
Come detto la parabola è orizzontale, pertanto bisogna fare attenzione alle formule (vedi lezione sulla parabola). Calcoliamo quindi le varie caratteristiche della parabola con le seguenti formule:
Vertice
$V=\left(-\dfrac{b^2-4ac}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)$
$=\left(-\dfrac{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}{4\cdot 1},-\dfrac{-3}{2\cdot 1}\right)$
$=\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2}\right)$
Fuoco
$F=\left(\dfrac{1-\Delta}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)=$
$=\left(\dfrac{1-\left[(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2\right]}{4\cdot 1},-\dfrac{-3}{2\cdot 1}\right)$
$=\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$
Asse
$y=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2}$
Direttrice
$x=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$
$=-\dfrac{1+(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}{4\cdot 1}$
$=-\dfrac{1}{2}$
Riassumiamo quanto calcolato con le formule:
- Vertice $V\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2}\right)$
- Fuoco $F\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$
- Asse $y=\dfrac{3}{2}$
- Direttrice $x=-\dfrac{1}{2}$
Per disegnare la parabola ci occorrono altri due punti, li troveremo sostituendo un paio di valori di $y$ nell’equazione della parabola $x=y^2-3y+2$.
Ad esempio prendiamo $y=3$, sostituendolo nell’equazione della parabola otteniamo:
$x=3^2-3\cdot 3+2=2$
Quindi un punto della parabola è $(2,3)$.
Allo stesso modo se poniamo $y=0$ nell’equazione otteniamo:
$x= 0^2-3\cdot 0+2=2$
Quindi un altro punto della parabola è $(2,0)$.
Ora abbiamo tutto il necessario per rappresentare la parabola. Disegniamo nel piano cartesiano tutte le caratteristiche trovate e tracciamo il grafico che ricordiamo essere una parabola orizzontale. Il risultato deve essere simile a questo:
