Problema
Determina le caratteristiche (fuoco, vertice,…) della parabola di equazione $x^2+x-3y=0$ e rappresentala nel piano cartesiano.
Svolgimento
L’equazione fornita non è in forma esplicita, allora isolando la $y$ otteniamo che l’equazione della parabola in forma esplicita è:
$y=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x}{3}$
da questa equazione scopriamo che i coefficienti della parabola sono $a=\dfrac{1}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ e $c=0$.
Calcoliamo le caratteristiche della parabola (verticale) con le seguenti formule:
Vertice
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
$=\left(-\dfrac{\dfrac{1}{3}}{2\cdot \dfrac{1}{3}},-\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 0}{4\cdot \dfrac{1}{3}}\right)$
$=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{12}\right)$
Fuoco
$F=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{1-\Delta}{4a}\right)=$
$=\left(-\dfrac{\dfrac{1}{3}}{2\cdot \dfrac{1}{3}},\dfrac{1-\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 0\right]}{4\cdot \dfrac{1}{3}}\right)$
$=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right)$
Asse
$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{1}{3}}{2\cdot \dfrac{1}{3}}=-\dfrac{1}{2}$
Direttrice
$y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$
$=-\dfrac{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-4\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 0}{4\cdot \dfrac{1}{3}}$
$=-\dfrac{5}{6}$
Riassumiamo quanto calcolato finora:
- Vertice $V\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{12}\right)$
- Fuoco $F\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right)$
- Asse $x=-\dfrac{1}{2}$
- Direttrice $y=-\dfrac{5}{6}$
Per poter disegnare la parabola cerchiamo altri due punti.
Ad esempio, ponendo $x=3$ e inserendolo nell’equazione della parabola otteniamo:
$y=\dfrac{3^2}{3}+\dfrac{3}{3}=4$
Quindi un primo punto della parabola è $(3,4)$.
Per semplicità poniamo ora $x=-3$ e sempre inserendo nell’equazione si ottiene:
$y=\dfrac{(-3)^2}{3}+\dfrac{-3}{3}=2$
Cioè un secondo punto della parabola è $(-3,2)$.
Non resta che disegnare nel piano cartesiano quanto trovato e disegnare poi la parabola unendo il vertice con i due punti appena trovati. Il risultato sarà il seguente:
