Problema
Determina le caratteristiche (fuoco, vertice,…) della parabola di equazione $y=\dfrac{x^2}{2}+x+3$ e rappresentala nel piano cartesiano.
Svolgimento
Dall’equazione della parabola:
$y=\dfrac{x^2}{2}+x+3$
ricaviamo che i coefficienti sono $a=\dfrac{1}{2}$, $b=1$ e $c=3$.
Siccome la parabola è verticale e conosciamo i coefficienti, possiamo utilizzare le formule viste nella lezione per calcolare alcune caratteristiche della parabola:
Vertice
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
$=\left(-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}},-\dfrac{1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3}{4\cdot \dfrac{1}{2}}\right)$
$=\left(-1,\dfrac{5}{2}\right)$
Fuoco
$F=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{1-\Delta}{4a}\right)=$
$=\left(-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}},\dfrac{1-(1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3)}{4\cdot \dfrac{1}{2}}\right)$
$=(-1,3)$
Asse
$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}}=-1$
Direttrice
$y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$
$=-\dfrac{1+1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3}{4\cdot \dfrac{1}{2}}$
$=2$
Riassumiamo brevemente quanto trovato:
- Vertice $V\left(-1,\dfrac{5}{2}\right)$
- Fuoco $F(-1,3)$
- Asse $x=-1$
- Direttrice $y=2$
Siccome dobbiamo anche disegnare la parabola è necessario conoscere almeno altri due punti che le appartengono. Come visto nell’esercizio 3, diamo un valore alla variabile $x$ e inserendolo nell’equazione della parabola calcoliamo il valore di $y$ corrispondente.
Ad esempio, se scegliamo il valore $x=0$ allora il punto appartenente alla parabola avrà coordinata $y$ pari a:
$y=\dfrac{0^2}{2}+0+3=3$
Quindi primo punto della parabola sarà $(0,3)$.
Per simmetria rispetto al vertice, scegliamo ora $x=-2$ che ci darà come ordinata:
$y=\dfrac{(-2)^2}{2}-2+3=3$
Quindi un secondo punto della parabola è $(-2,3)$.
Ci faremo bastare questi due punti. Ora non resta che rappresentare nel piano cartesiano tutte le caratteristiche della parabola che abbiamo trovato fino ad ora e poi disegnare la parabola. Il risultato sarà simile al seguente:
