PARABOLA – ESERCIZIO 4

Problema

Determina le caratteristiche (fuoco, vertice,…) della parabola di equazione $y=\dfrac{x^2}{2}+x+3$ e rappresentala nel piano cartesiano.

Svolgimento

Dall’equazione della parabola:

$y=\dfrac{x^2}{2}+x+3$

ricaviamo che i coefficienti sono $a=\dfrac{1}{2}$, $b=1$ e $c=3$.

Siccome la parabola è verticale e conosciamo i coefficienti, possiamo utilizzare le formule viste nella lezione per calcolare alcune caratteristiche della parabola:

Vertice

$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$

$=\left(-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}},-\dfrac{1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3}{4\cdot \dfrac{1}{2}}\right)$

$=\left(-1,\dfrac{5}{2}\right)$

Fuoco

$F=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{1-\Delta}{4a}\right)=$

$=\left(-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}},\dfrac{1-(1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3)}{4\cdot \dfrac{1}{2}}\right)$

$=(-1,3)$

Asse

$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1}{2}}=-1$

Direttrice

$y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$

$=-\dfrac{1+1^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3}{4\cdot \dfrac{1}{2}}$

$=2$

Riassumiamo brevemente quanto trovato:

  • Vertice $V\left(-1,\dfrac{5}{2}\right)$
  • Fuoco $F(-1,3)$
  • Asse $x=-1$
  • Direttrice $y=2$

Siccome dobbiamo anche disegnare la parabola è necessario conoscere almeno altri due punti che le appartengono. Come visto nell’esercizio 3, diamo un valore alla variabile $x$ e inserendolo nell’equazione della parabola calcoliamo il valore di $y$ corrispondente.

Ad esempio, se scegliamo il valore $x=0$ allora il punto appartenente alla parabola avrà coordinata $y$ pari a:

$y=\dfrac{0^2}{2}+0+3=3$

Quindi primo punto della parabola sarà $(0,3)$.

Per simmetria rispetto al vertice, scegliamo ora $x=-2$ che ci darà come ordinata:

$y=\dfrac{(-2)^2}{2}-2+3=3$

Quindi un secondo punto della parabola è $(-2,3)$.

Ci faremo bastare questi due punti. Ora non resta che rappresentare nel piano cartesiano tutte le caratteristiche della parabola che abbiamo trovato fino ad ora e poi disegnare la parabola. Il risultato sarà simile al seguente:

disegno della parabola e delle caratteristiche calcolate esercizio 4