Problema
Calcola il vertice della parabola $y=x^2-2x+1$, poi determina almeno quattro punti costruendo una tabella $xy$ e infine utilizza tali informazioni per disegnarla.
Svolgimento
Notiamo innanzitutto che l’equazione descrive un parabola verticale, quindi per calcolare le coordinate del vertice $V$ applichiamo la formula:
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
Dall’equazione ricaviamo che i coefficienti sono: $a=1$, $b=-2$ e $c=1$, pertanto la coordinata $x$ del vertice sarà:
$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$
mentre la coordinata $y$ è:
$-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 1}{4\cdot 1}=0$
Allora il vertice $V$ della parabola è il punto:
$V=(1,0)$
Siccome vogliamo disegnare la parabola non ci basta il vertice, ma servono almeno un’altra coppia di punti. Il problema ci chiede di trovarne altri quattro realizzando una tabella $xy$.
Per realizzare la tabella scegliamo dei valori per la variabile $x$ e inserendoli nell’equazione troveremo i valori di $y$ associati. I valori di $x$ vanno scelti in modo intelligente, sia a destra che a sinistra del vertice.
Ad esempio, ponendo $x=2$ nell’equazione della parabola otteniamo che il valore di $y$ sarà:
$y=2^2-2\cdot 2+1=1$
Quindi un altro punto della parabola ha coordinate $(2,1)$.
Per simmetria prendiamo il valore $x=0$, che ci restituisce il valore:
$y=0^2-2\cdot 0+1=1$
Un altro punto della parabola è $(0,1)$
Se scegliamo poi $x=4$ si ottiene:
$y=4^2-2\cdot 4+1=9$
cioè otteniamo il punto $(4,9)$.
Per concludere, sempre per simmetria, ponendo $x=-2$ :
$y=(-2)^2-2\cdot (-2)+1=9 $
da cui il punto $(-2,9)$.
Riassumiamo i punti trovati in una tabella $xy$:
| $\Large x$ | $\Large y$ | $\Large {(x,y)}$ |
| $2$ | $1$ | $(2,1)$ |
| $0$ | $1$ | $(0,1)$ |
| $4$ | $9$ | $(4,9)$ |
| $-2$ | $9$ | $(-2,9)$ |
Ora non resta che disegnare il vertice e i punti trovati nel piano cartesiano, collegandoli poi in modo da formare una parabola. Il risultato dovrebbe assomigliare a questo:
