Problema
Una parabola ha fuoco di coordinate $F(2,3)$ e direttrice $y=2$. Determina la sua equazione sfruttando la definizione di parabola.
Svolgimento
Come visto per l’esercizio 1 è utile realizzare un veloce disegno. Rappresentiamo il fuoco, la direttrice e fissiamo un punto $P(x,y)$ sulla parabola (il disegno della parabola può essere approssimativo, serve solo per aiutare).
Dobbiamo basarci sulla definizione di parabola, quindi la distanza tra $F$ e $P$ deve essere uguale alla distanza tra $P$ e il punto $H$ sulla direttrice (il segmento $\overline{PH}$ è perpendicolare alla direttrice).
In formule si ha che:
$\overline{FP}=\overline{PH}$
Le coordinate dei tre punti sono:
$F(2,3)$
$F(x,y)$
$H(x,2)$
Ora calcoliamo con la formula della distanza tra punti la lunghezza dei segmenti, partendo da $\overline{FP}$:
$\overline{FP}=\sqrt{(x_F-x_P)^2+(y_F-y_P)^2}$
$=\sqrt{(2-x)^2+(3-y)^2}$
$=\sqrt{x^2-4x+4+y^2-6y+9}$
Mentre per il segmento $\overline{PH}$ otteniamo:
$\overline{PH}=\sqrt{(x_P-x_H)^2+(y_P-y_H)^2}$
$=\sqrt{(x-x)^2+(y-2)^2}$
$=\sqrt{y^2-4y+4}$
Ora riprendiamo la definizione di parabola:
$\overline{FP}=\overline{PH}$
e sostituendo le distanze appena trovate otteniamo:
$\sqrt{x^2-4x+4+y^2-6y+9}=\sqrt{y^2-4y+4}$
Semplifichiamo le radici quadrate
$x^2-4x+4+y^2-6y+9=y^2-4y+4$
Portiamo tutto a sinistra e sommiamo i termini simili e ottenendo l’equazione:
$x^2-4x-2y+9=0$
Dalla quale isolando la $y$ otteniamo l’equazione della parabola:
$y=\dfrac{x^2}{2}-2x+\dfrac{9}{2}$