Problema
Disegna nello stesso piano cartesiano le parabole $y=2x^2$ e $y=\dfrac{1}{4}x^2$. Quale ha apertura maggiore? Era possibile capirlo direttamente dalle equazioni?
Svolgimento
Disegniamo le due parabole calcolando prima il vertice e poi trovando altri due punti per ciascuna.
- Parabola di equazione $y=2x^2$
I coefficienti sono $a=2$, $b=0$ e $c=0$. Le coordinate del vertice sono:
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
$=\left(-\dfrac{0}{2\cdot 2},-\dfrac{0^2-4\cdot 2\cdot 0}{4\cdot 2}\right)$
$=\left(0,0\right)$
Il vertice è quindi l’origine degli assi $(0,0)$.
Determiniamo altri due punti appartenenti alla parabola, ad esempio ponendo $x=1$ nell’equazione otteniamo:
$y=2\cdot 1^2=2$
quindi un punto della parabola ha coordinate $(1,2)$.
Per simmetria proviamo poi con $x=-1$, che da come risultato:
$y=2\cdot (-1)^2=2$
quindi un altro punto ha coordinate $(-1,2)$.
- Parabola di equazione $y=\dfrac{1}{4}x^2$
I coefficienti sono $a=\dfrac{1}{4}$, $b=0$ e $c=0$. Le coordinate del vertice sono:
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
$=\left(-\dfrac{0}{2\cdot \dfrac{1}{4}},-\dfrac{0^2-4\cdot \dfrac{1}{4}\cdot 0}{4\cdot \dfrac{1}{4}}\right)$
$=\left(0,0\right)$
Il vertice è quindi l’origine degli assi $(0,0)$.
Determiniamo altri due punti appartenenti alla parabola, ad esempio ponendo $x=2$ nell’equazione otteniamo:
$y=\dfrac{1}{4}\cdot 2^2=1$
quindi un punto della parabola ha coordinate $(2,1)$.
Per simmetria proviamo poi con $x=-2$, che da come risultato:
$y=\dfrac{1}{4}\cdot (-2)^2=1$
quindi un altro punto ha coordinate $(-2,1)$.
Disegniamo ora nello stesso grafico le due parabole e come possiamo vedere la parabola di equazione $y=\dfrac{1}{4}x^2$ ha ampiezza maggiore. Potevamo capirlo anche senza disegnare le due parabole, infatti basta confrontare i due coefficienti $a$ delle parabole. Maggiore è il valore di $a$ più la parabola è stretta, infatti nel nostro caso confrontando i valori di $a$ notiamo che $2>\dfrac{1}{4}$, pertanto la parabola verde $a=2$ è più stretta della blu $a=\dfrac{1}{4}$.
