Problema
Sono date le seguenti equazioni che rappresentano quattro diverse parabole:
- $y=-3x^2+2x$
- $y=x^2+3$
- $y=-\dfrac{x^2}{2}+1$
- $y=2x^2$
Abbina correttamente ciascuna equazione al relativo grafico tra quelli in figura.
Svolgimento
Ricordiamo che una parabola generica con asse verticale ha equazione:
$y=ax^2+bx+c$
Analizziamo i coefficienti di ciascuna equazione e, basandoci su quanto visto nella lezione sulla parabola, abbiniamole al giusto grafico:
- Parabola di equazione $y=-3x^2+2x$
Notiamo che nell’equazione manca il coefficiente $c$, cioè $c=0$. Pertanto la parabola rappresentata da questa equazione passa per l’origine degli assi.
Inoltre siccome il coefficiente $a=-3$ è negativo, la parabola sarà con la concavità verso il basso.
L’unico grafico che soddisfa queste caratteristiche è il terzo, quindi concludiamo che l’equazione rappresenta la parabola del grafico C.
- Parabola di equazione $y=x^2+3$
Nell’equazione manca il coefficiente $b$, quindi $b=0$. Allora la parabola ha il vertice che sta sull’asse $y$.
Sia il grafico A che il grafico D rispettano tale caratteristica, tuttavia essendo $c=3$ la parabola non può passare per l’origine ma sarà “rialzata”, quindi scartiamo il primo grafico.
Per esclusione concludiamo che il grafico corrispondente a questa equazione è il D.
- Parabola di equazione $y=-\dfrac{x^2}{2}+1$
Il coefficiente $b=0$ quindi la parabola ha vertice lungo l’asse $y$, inoltre $a=-\dfrac{1}{2}$ è negativo quindi la parabola è rivolta verso il basso.
Concludiamo che il suo grafico è il B.
- Parabola di equazione $y=2x^2$
Nell’equazione mancano sia il coefficiente $b$ che il $c$, quindi $b=c=0$. Allora la parabola ha vertice nell’origine degli assi cartesiani.
Inoltre il coefficiente $a=2$ è positivo, quindi la concavità della parabola è verso l’alto.
Pertanto l’equazione è rappresentata dal grafico A.