Problema
La parabola in figura ha il fuoco di coordinate $F(0,1)$ e la sua direttrice è $y=-1$. Sfruttando queste informazioni determina l’equazione della parabola utilizzando la definizione di parabola.
Svolgimento
La parabola è costituita dai punti $P$ del piano cartesiano che sono equidistanti dal fuoco $F$ e dalla retta direttrice. Se riferiamo questa definizione alla figura allora abbiamo che la distanza tra il punto $F$ e il punto $P$ deve essere uguale alla distanza tra il punto $P$ e il punto $H$ sulla direttrice. In formule si ha che:
$\overline{FP}=\overline{PH}$
Sostituendo in questa uguaglianza la formula per la distanza tra due punti riusciremo a trovare l’equazione della parabola, ma prima vediamo quali sono le coordinate di questi tre punti:
$F(0,1)$
$P(x,y)$
$H(x,-1)$
Ora possiamo calcolare le distanze tra i punti, ricordiamo che la formula della distanza tra due punti è:
$\overline{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
Quindi applichiamola al nostro caso, calcolando la lunghezza del segmento $\overline{FP}$:
$\overline{FP}=\sqrt{(x_F-x_P)^2+(y_F-y_P)^2}$
$=\sqrt{(0-x)^2+(1-y)^2}$
$=\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$
Facciamo lo stesso per la distanza tra $P$ ed $H$:
$\overline{PH}=\sqrt{(x_P-x_H)^2+(y_P-y_H)^2}$
$=\sqrt{(x-x)^2+(y+1)^2}$
$=\sqrt{y^2+2y+1}$
Ora che abbiamo trovato le due distanze sappiamo che devono essere uguali essendo $P$ un punto della parabola. Quindi per la definizione di parabola:
$\overline{FP}=\overline{PH}$
cioè:
$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}=\sqrt{y^2+2y+1}$
semplificando la radice otteniamo:
$x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1$
Portiamo tutti i termini a sinistra e sommiamo quelli simili, arrivando all’equazione
$-4y^2+x^2=0$
che può essere riscritta come:
$y=\dfrac{x^2}{4}$
che è l’equazione della parabola verde in figura.