Problema
Trova l’equazione dell’ellisse che ha un vertice di coordinate $(0,3)$ e i fuochi sull’asse $x$ distanti $\dfrac{18\sqrt{5}}{5}$ dalla retta di equazione $y=3x$.
Svolgimento
L’equazione generica dell’ellisse centrata nell’origine degli assi è:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
il nostro scopo e come sempre trovare i coefficienti $a$ e $b$ usando le informazioni a disposizione.
Partiamo dall’informazione sul vertice di coordinate $(0,3)$, siccome la coordinata $x$ è $0$ e la coordinata $y$ è positiva intuiamo che si tratta del vertice $V_2$ situato lungo la parte positiva dell’asse $y$. Dalla teoria sappiamo che la formula generica di questo vertice è:
$V_2=(0,b)$
quindi per confronto otteniamo che $b=3$.
Sostituiamo il valore di $b$ nell’equazione generica dell’ellisse, ottenendo:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{9}=1$
ci manca quindi il coefficiente $a$. Per calcolarlo sfruttiamo la seconda informazione, cioè che i fuochi, che sono lungo l’asse $x$, distano $\dfrac{18\sqrt{5}}{5}$ dalla retta $y=3x$.
Chiaramente non conosciamo le coordinate di nessuno dei due fuochi, ma siccome ci viene detto che stanno sull’asse delle $x$ allora sappiamo che sono la loro formula deve essere $F(\pm c,0)$.
Prendiamo uno dei due fuochi, per comodità quello con ascissa positiva, cioè $F_2(c,0)$ e scriviamo la retta in forma implicita $3x-y=0$. Allora possiamo applicare la formula della distanza di un punto da una retta:
$d=\dfrac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
Nel nostro caso $x_P=c$, $y_P=0$, $A=3$, $B=-1$ e $C=0$. Quindi la formula diventa:
$\dfrac{18\sqrt{5}}{5}=\dfrac{|3c+-1\cdot 0+0|}{\sqrt{9+1}}$
semplificando un po’ otteniamo:
$\dfrac{18\sqrt{5}}{5}\cdot \sqrt{10}=3c$
e con qualche calcolo otteniamo che $c=6\sqrt{2}$.
Allora conoscendo $c$ possiamo calcolarci $a$ come:
$a=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{72+9}=9$
Quindi abbiamo finalmente ottenuto che $a=9$, allora inserendolo nell’equazione generica otteniamo che l’ellisse ha equazione:
$\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{9}=1$